大学数学-考研试题(北京师范大学 2022年常数项级数的审敛法)

问答题（2022年北京师范大学）

讨论1/a^lnn (a>0)的敛散性.

答案解析

①当0<a≤1时，1/alnn =(1/a)lnn ≠0，级数发散；②当1<a≤e时，(1/a)lnn≥(e-1)lnn=1/n，由1/n发散可知1/alnn 发散；③当a>e时，不妨设a...

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讨论

大学数学

计算(e-ax - e-bx)/x sinxdx，其中a,b>0.

设f(x,y)=，问：f(x,y)在(0,0)处连续吗？方向可导吗？可微吗？

已知an=+∞，证明(a1+a2+⋯+an)/n=+∞，并举例说明反过来不成立.

已知函数f(x)在[a,+∞)上连续，且f(x)存在，证明：(1)函数f(x)有界；(2)存在ξ∈[a,+∞)，使得f(ξ)为f(x)在[a,+∞)上的最大值或最小值.

已知函数f(x)在(0,1)上连续，且f(1)=3ex-1f(x)dx，证明：存在ξ∈(0,1)，使得f(ξ)+f'(ξ)=0.

已知二元函数f(x,y)=.(1)求fx(0,y)；(2)证明：fxy(0,0)=-1.

已知幂级数(-1)nn(n+1) xn .(1)求幂级数的收敛半径、收敛区间以及和函数；(2)计算(-1)nn(n+1)/4n .

已知a1=2,an+1=1/2 (an+1/an )，证明：(1)数列{an }收敛；(2) (an/an+1 -1) 收敛.

已知y=arctanx.(1)证明：2xy'+(1+x2 )y''=0;(2)求y(n).

证明：广义积分lnx/√x dx收敛.

常数项级数的审敛法

若un>0,n=1,2,…且∀n,un+1/un <1则un 收敛.

设常数k>0，则级数(-1)n(k+n)/n2 【】

设α为常数，则级数(sinnα/n2 -1/√n)【】

级数(-1)n(1-cos⁡ α/n)(常数α>0)【】

设常数λ>0，且级数an2 收敛，则级数(-1)n |an |/【】

设f(x)在x=0的某一领域内具有二阶连续导数，且f(x)/x=0，证明级数f(1/n)绝对收敛.

设un=(-1)n ln⁡(1+1/√n)，则级数【】

设an>0(n=1,2,⋯)，且an 收敛，常数λ∈(0,π/2)，则级数(-1)n (ntan λ/n) a2n【】

设幂级数anxn 的收敛半径为3，则幂级数nan (x-1)n+1的收敛区间为________.

设a1=2,an+1=1/2(an+1/an )(n=1,2,…)，证明：(1) an 存在；(2)级数(an/an+1 -1)收敛.

无穷级数

求级数(n2+1)/n!的和.

若|un+1 - un |收敛，则un存在.

求幂级数(3+(-1)n)n/n xn的收敛半径，并判断它在收敛区间端点的收敛情况.

证明：(1)级数 sin⁡(2nπx)/2n 在区间(-∞,+∞)上连续；(2)函数f(x)=sin⁡(2nπx)/2n 在任何区间上不能逐次求导.

求幂级数1/(n∙2n) xn-1的收敛域，并求其和函数.

设f(x)是周期为2的周期函数，它在区间(-1,1]上定义为f(x)=，则f(x)的傅里叶级数在x=1处收敛于______.

设幂级数an(x-1)n在x=-1处收敛，则此级数在x=2处【】

求幂级数(x-3)n/(n∙3n)的收敛域.

设函数f(x)=x2,0≤x<1，而S(x)=bnsinnπx,-∞<x<+∞，其中bn=2f(x)sinnπxdx,x=1,2,3,…，则S(-1/2)等于【】

将函数f(x)=arctan⁡(1+x)/(1-x)展开为x的幂级数.