大学数学-考研(北京师范大学 2022年方向导数与梯度)

问答题（2022年北京师范大学）

设f(x,y)=，问：f(x,y)在(0,0)处连续吗？方向可导吗？可微吗？

答案解析

(1)对函数作极坐标变换：，则(x,y)→(0,0)⟺r⟶0.|f(x,y)-0|=|x(x2+2y2 )/(x2+y2 )|=|rcosθ(1+sin2⁡θ )|≤2r→0(r→0)即f(x,y)=...

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讨论

全微分

已知((x+ay)dx+ydy)/(x+y)2 为某函数的全微分，则a等于【】

已知f(x,y)在(x0,y0)的某邻域内，fx(x,y)连续，fy(x0,y0)存在，证明：f(x,y)在(x0,y0)可微.

设函数f(x,y)可微，且f(x+1,ex)=x(x+1)2 , f(x,x2)=2x2lnx，则df(1,1)=【】

已知an=+∞，证明(a1+a2+⋯+an)/n=+∞，并举例说明反过来不成立.

计算(e-ax - e-bx)/x sinxdx，其中a,b>0.

讨论1/alnn (a>0)的敛散性.

已知z3-xyz=a3，求zxx,zyx.

计算 ∬∑x3dydz，其中∑: x2/a2 +y2/b2 +z2/c2 =1,z≥0，取外侧.

设f(x)在(0,1)可微，且有x2 f(x) dx=0，证明：存在θ∈(0,1)，使得f' (θ)=-f(θ)/θ.

求f(x,y,z)=x2y2z2在单位球上的最大值.

多元函数微分法

二元函数f(x,y)=在点(0,0)处【】

设f(u)可导，z=xyf(y/x)，若x ∂z/∂x+y ∂z/∂y=xy(lny-lnx)，则【】

当x≥0,y≥0时，x2+y2≤kex+y恒成立，则k的最小值是__________.

已知可微函数f(u,v)满足∂f(u,v)/∂u-∂f(u,v)/∂v=2(u-v) e-(u+v)且f(u,0)=u2e-u.(1)记g(x,y)=f(x,y-x)，求∂g(x,y)/∂x;(2)求f(u,v)的表达式和极值.

设某产品的产量Q由资本投入量x和劳动投入量y决定，生产函数为Q=12x1/2 y1/6，该产品的销售单价P与Q的关系为P=1160-1.5Q，若单位资本投入和单位劳动投入的价格分别为6和8，求利润最大时的产量.

设u(x,y,z)=，证明：d2u≥0.

已知z=f(u,v)，其中u=2x+y,v=x2，求∂z/∂x,∂z/∂y,∂2/∂x2,∂2z/∂x∂y.

设n是曲面2x2+3y2+z2=6在点P(1,1,1)处的指向外侧的法向量，求函数u=/z在点P处沿方向n的方向导数.

在曲线x=t,y=-t2,z=t3的所有切线中，与平面x+2y+z=4平行的切线是【】

设z=f(ex siny,x2+y2)，其中f具有二阶连续偏导数，求∂2z/∂x∂y.

方向导数与梯度

函数f(x,y)=x2+2y2在(0,1)的最大方向导数为______.

函数u=ln⁡(x2+y2+z2)在点M(1,2,-2)处的梯度 gradu|M=__________.

函数u=ln⁡(x+)在A(1,0,1)处沿A点指向B(3,-2,2)点方向的方向导数为________.

计算∬Ωe(x-y)/(x+y) dΩ，其中Ω:x≥0,y≥0,x+y≤1.

设f(x,y)=，问：f(x,y)在(0,0)处连续吗？方向可导吗？可微吗？

设f(x,y)=，问：f(x,y)在(0,0)处连续吗？方向可导吗？可微吗？

设f(x,y)=，问：f(x,y)在(0,0)处连续吗？方向可导吗？可微吗？

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设f(x,y)=，问：f(x,y)在(0,0)处连续吗？方向可导吗？可微吗？

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