/ 知识库     / 试卷库

考研2022年同济大学( )

xy (3x-4y)/(x2+y2)

令x=rcosθ,y=rsinθ,

xy (3x-4y)/(x2+y2)=rsinθcosθ(3cosθ-4sinθ)=0.

考研2022年北京师范大学( )

求f(x,y,z)=x2y2z2在单位球上的最大值.

已知单位球的方程:x2+y2+z2=1.

显然,x2 y2 z2≥0,

∴当x,y,z有一个为0时,f(x,y,z)取到最小值0.

≤(x2+y2+z2)/3=1/3⟹x2 y2 z2≤1/27,

∴f(x,y,z)的最大值为1/27.

考研2022年北京师范大学( )

已知z3-xyz=a3,求zxx,zyx.

(1)方程两端同时对x求偏导,有:

3z2 zx-yz-xyzx=0  ①

解得:zx=yz/(3z2-xy)

① 式两端再对x求偏导,有:

6z∙zx2+3z2∙zxx-yzx-xyzxx=0 

解得:zxx=(2yzx-6zzx2)/(3z2-xy)=(-2y3 xz)/(3z2-xy)3 .

(2)方程两端同时对y求偏导,有:

3z2 zy-xz-xyzy=0   ②

解得:zy=xz/(3z2-xy)

② 两端同时对x求偏导,有:

6zzx zy+3z2 zyx-z-xzx-yzy-xyzyx=0 

zyx=(z+xzx+yzy-6zzx zy)/(3z2-xy)=(z(3z2-xy)2+2xyz(3z2-xy)-6xyz3)/(3z2-xy)3

考研2022年北京师范大学( )

设f(x,y)=,问:f(x,y)在(0,0)处连续吗?方向可导吗?可微吗?

(1)对函数作极坐标变换:,则(x,y)→(0,0)⟺r⟶0.

|f(x,y)-0|=|x(x2+2y2 )/(x2+y2 )|=|rcosθ(1+sin2⁡θ )|≤2r→0(r→0)

f(x,y)=0=f(0,0),所以f(x,y)在(0,0)处连续.

(2)令P0 (0,0),P(ρcosθ0,ρsinθ0),则

(f(P)-f(P0))/ρ=(ρcosθ0 (1+sin2⁡θ0 ))/ρ=cosθ0 (1+sin2⁡θ0 )

∴f(x,y)在(0,0)处沿任意方向的方向导数都存在.

(3)当θ0=0时,fx (0,0)=1,当θ0=π/2时,fy (0,0)=0.

(∆f-df)/=((∆x3+2∆x∆y2)/(∆x2+∆y2 )-fx (0,0)∆x-fy (0,0)∆y)/=(∆x∆y2)/(∆x2+∆y2 )3/2 =cosθ sin2⁡θ

其极限随θ的变化而变化,即极限不存在,

∴f(x,y)在(0,0)处不可微.

考研2022年北京理工大学( )

已知二元函数f(x,y)=.

(1)求fx(0,y);

(2)证明:fxy(0,0)=-1.

(1)当y=0时,fx (0,0)=(f(x,0)-f(0,0))/x=(0-0)/x=0,

当y≠0时,fx (0,y)=(f(x,y)-f(0,y))/x==-y.

∴fx (0,y)=.

(2) fxy (0,0)=(fx (0,y)-fx (0,0))/y=(-y-0)/y=-1.