(1)由已知，b₁=B₁,b_k=B_k-B_k-1

a_n b_n =a₁ b₁+a₂ b₂+⋯+a_n b_n

=a₁ B₁+a₂ (B₂-B₁ )+⋯+a_n (B_n-B_n-1)

=a₁ B₁+a₂ B₂-a₂ B₁+⋯+a_n B_n-a_n B_n-1

=B₁ (a₁-a₂ )+B₂ (a₂-a₃ )+⋯+B_n-1 (a_n-1-a_n )+a_n B_n

=a_n B_n+B_k (a_k-a_(k+1))

(2)使用Stolz公式：

(kx_k )/n=(kx_k -kx_k )/(n-(n-1))= nx_n=A

(k² x_k )/n² =k² x_k -k² x_k )/(n²-(n-1)² )= (n² x_n)/(2n-1)=(nx_n)/(2-1/n)=A/2

1/h [f(x+h)-f(x)]dx

=1/h [f(x+h)dx-f(x) dx]

=1/h [f(x)dx-f(x) dx]

=1/h [f(x+h)dx-f(x) dx]

=f(x+h)dx/h-lim┬(h→0)⁡f(x) dx/h

=⁡f(b+h)-f(a+h)

=f(b)-f(a)

由 a_n=a得 |a_n |=|a|.

根据极限的定义，对∀ε>0,∃N₁>0，当n>N₁时，有|a_n-a|<a²/2 ε.

由保号性知，对上述ε>0,∃N₂>0，当n>N₂时，有|a_n |>|a|/2.

令N=max⁡{N₁,N₂}，则当n>N时

|1/a_n -1/a|=|(a-a_n)/(a_n a)|<a²/2 ε∙2/a² =ε

故，由ε-N定义知，  1/a_n =1/a.

(1)∵ |(-1)ⁿ n(n+1)/(n(n+1) x²+2ⁿ )|≤n(n+1)/2ⁿ ，

而⁡=1/2<1

故n(n+1)/2ⁿ 收敛.

魏尔斯特拉斯判别法（M-判别法）知(-1)ⁿ n(n+1)/(n(n+1) x²+2ⁿ )关于x∈(-∞,+∞)一致收敛.

(2) (-1)ⁿ n(n+1)/(n(n+1) x²+2ⁿ )=(-1/2)ⁿ n(n+1)

令S(x)=n(n+1) xⁿ,x∈(-1,1)

S(x)=xn(n+1) x^n-1=x(xⁿ⁺¹)''=x(xⁿ⁺¹ )''=x∙(x²/(1-x))''=2x/(1-x)³ 

故

S(-1/2)=2∙(-1/2)/(1+1/2)³ =-8/27

令x=rcosθsinφ,y=rsinθsinφ,z=rcos,则r=2,φ∈[π/4,π/2]

由于曲面关于三个坐标平面对称，所以

V=8dθ dφ r² sinφ dr=32π/3 (-cos2φ)^3/2 sinφ dφ

=32π/3(1-2 cos²⁡φ )^3/2  d(-cosφ)

令t=cosφ，上式化为：

V=32π/3 (1-2t² )^3/2  dt

令p²=1-2t²，上式化为：

V=(16√2 π)/3 p⁴/√(1-p² ) dp

再令u=p²，上式化为：

V=(8√2 π)/3 u^3/2 (1-u)^-1/2  du=(8√2 π)/3 B(5/2,1/2)

=(8√2 π)/3∙Γ(5/2)Γ(1/2)/Γ(3) =(8√2 π)/3∙(3/4 Γ(1/2)²)/2!=√2 π²