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考研2022年华中科技大学( )

解答如下 问题:

(1)设{an },{bn}为两个数列,且Bn=b1+b2+⋯+bn,证明:

an bn=an Bn+Bk (ak-ak-1)

(2)记20190216204018.png⁡1/n kxk=A,证明:20190216204018.png⁡1/n^2 k2 xk=A/2.

(1)由已知,b1=B1,bk=Bk-Bk-1

an bn =a1 b1+a2 b2+⋯+an bn

=a1 B1+a2 (B2-B1 )+⋯+an (Bn-Bn-1)

=a1 B1+a2 B2-a2 B1+⋯+an Bn-an Bn-1

=B1 (a1-a2 )+B2 (a2-a3 )+⋯+Bn-1 (an-1-an )+an Bn

=an Bn+Bk (ak-a_(k+1))

(2)使用Stolz公式:

20190216204018.png(kxk )/n=20190216204018.png(kxk -kxk )/(n-(n-1))=20190216204018.png nxn=A

20190216204018.png(k2 xk )/n2 =20190216204018.pngk2 xk -k2 xk )/(n2-(n-1)2 )=20190216204018.png (n2 xn)/(2n-1)=20190216204018.png(nxn)/(2-1/n)=A/2

考研2022年华中科技大学( )

已知函数f(x)为(A,B)上的连续函数,且有[a,b]⊂(a,b),证明:

1/h [f(x+h)-f(x)]dx=f(b)-f(a)

1/h [f(x+h)-f(x)]dx

=1/h [f(x+h)dx-f(x) dx]

=1/h [f(x)dx-f(x) dx]

=1/h [f(x+h)dx-f(x) dx]

=f(x+h)dx/h-lim┬(h→0)⁡f(x) dx/h

=⁡f(b+h)-f(a+h)

=f(b)-f(a)

考研2022年华中科技大学( )

已知20190216204018.pngan=a≠0,试用ε-N语言证明:20190216204018.png1/an =1/a.

20190216204018.png an=a得20190216204018.png |an |=|a|.

根据极限的定义,对∀ε>0,∃N1>0,当n>N1时,有|an-a|<a2/2 ε.

由保号性知,对上述ε>0,∃N2>0,当n>N2时,有|an |>|a|/2.

令N=max⁡{N1,N2},则当n>N时

|1/an -1/a|=|(a-an)/(an a)|<a2/2 ε∙2/a2

故,由ε-N定义知,20190216204018.png  1/an =1/a.

考研2022年华中科技大学( )

解答如下问题:

(1)证明:(-1)n n(n+1)/(n(n+1) x2+2n)关于x∈(-∞,+∞)一致收敛.

(2)计算(-1)n n(n+1)/(n(n+1) x2+2n ).

(1)∵ |(-1)n n(n+1)/(n(n+1) x2+2n )|≤n(n+1)/2n

=1/2<1

n(n+1)/2n 收敛.

魏尔斯特拉斯判别法(M-判别法)知(-1)n n(n+1)/(n(n+1) x2+2n )关于x∈(-∞,+∞)一致收敛.

(2) (-1)n n(n+1)/(n(n+1) x2+2n )=(-1/2)n n(n+1)

令S(x)=n(n+1) xn,x∈(-1,1)

S(x)=xn(n+1) xn-1=x(xn+1)''=x(xn+1 )''=x∙(x2/(1-x))''=2x/(1-x)3 

S(-1/2)=2∙(-1/2)/(1+1/2)3 =-8/27

考研2022年华中科技大学( )

求(x2+y2+z2 )2=4(x2+y2-z2)所围立体的体积.

令x=rcosθsinφ,y=rsinθsinφ,z=rcos,则r=2,φ∈[π/4,π/2]

由于曲面关于三个坐标平面对称,所以

V=8r2 sinφ dr=32π/3 (-cos2φ)3/2 sinφ dφ

=32π/3(1-2 cos2⁡φ )3/2  d(-cosφ)

令t=cosφ,上式化为:

V=32π/3 (1-2t2 )3/2  dt

令p2=1-2t2,上式化为:

V=(16√2 π)/3 p4/√(1-p2 ) dp

再令u=p2,上式化为:

V=(8√2 π)/3 u3/2 (1-u)-1/2  du=(8√2 π)/3 B(5/2,1/2)

=(8√2 π)/3∙Γ(5/2)Γ(1/2)/Γ(3) =(8√2 π)/3∙(3/4 Γ(1/2)2)/2!=√2 π2