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考研2022年华中科技大学( )

求(x2+y2+z2 )2=4(x2+y2-z2)所围立体的体积.

令x=rcosθsinφ,y=rsinθsinφ,z=rcos,则r=2,φ∈[π/4,π/2]

由于曲面关于三个坐标平面对称,所以

V=8r2 sinφ dr=32π/3 (-cos2φ)3/2 sinφ dφ

=32π/3(1-2 cos2⁡φ )3/2  d(-cosφ)

令t=cosφ,上式化为:

V=32π/3 (1-2t2 )3/2  dt

令p2=1-2t2,上式化为:

V=(16√2 π)/3 p4/√(1-p2 ) dp

再令u=p2,上式化为:

V=(8√2 π)/3 u3/2 (1-u)-1/2  du=(8√2 π)/3 B(5/2,1/2)

=(8√2 π)/3∙Γ(5/2)Γ(1/2)/Γ(3) =(8√2 π)/3∙(3/4 Γ(1/2)2)/2!=√2 π2

考研2022年武汉大学( )

已知u是Ω=[0,1]×[0,1]×[0,1]上的正值连续函数,Ip(u)=(∭Ωupdxdydz)1/p

证明:Ip(u)=

对Ip (u)作恒等变换:

Ip (u)=(∭Ωup  dxdydz)1/p=

下面考虑1/p ln⁡(∭Ωup  dxdydz)的极限.

一般地,对于lnx,有(lnx)'=1/x,(lnx)''=-1/x2 <0,

将lnx在x0处展开:lnx=lnx0+1/x0  (x-x0 )-1/(2!ξ2 ) (x-x0 )2,ξ介于x与x0之间,

故:lnx≤lnx0+1/x0 (x-x0)   ①

记x=up,x0=∭Ωup  dxdydz,代入①式得:

lnup≤lnx0+1/x0 (up-x0),两边同时积分得:

Ωlnup  dxdydz≤ln⁡(∭Ωup  dxdydz)+1/x0  (∭Ωup  dxdydz-∭Ωup  dxdydz)=ln⁡(∭Ωup  dxdydz)

两边同乘以1/p得:

1/p ∭Ωlnup  dxdydz=∭Ωlnu dxdydz=≤1/p  ln⁡(∭Ωup  dxdydz)   ②

另一方面,由于lnx≤x-1,故

1/p  ln⁡(∭Ωup  dxdydz)≤1/p (∭Ωup  dxdydz-1)=1/p (∭Ωup  dxdydz-∭Ωdxdydz)=∭Ω(up-1)/p dxdydz  ③

由于(up-1)/p=lnu,补充定义:├ (up-1)/p┤|p=0=lnu,则(up-1)/p在p=0处右连续,所以:

⁡∭Ω(up-1)/p dxdydz=∭Ω^⁡(up-1)/p  dxdydz=∭Ωlnu dxdydz

由②③可得Ip (u)=.

考研2022年武汉大学( )

已知V是三个坐标平面以及x+y+2z=1,x+y+2z=2围成的封闭区域,求

V1/(x+y+2z)2 dV

J=(∂(x,y,z))/(∂(u,v,w))===1/2

新的积分区变为Ω:v≥0,w≥0,v+w≤u,1≤u≤2

V1/(x+y+2z)2 dV=∭Ω1/2u2 dΩ=1/2u2 du∬a≤v+w≤udvdw

=∭V1/(x+y+2z)2 dV=1/2u2dudvdw=1/2u2∙u2/2 du=1/4

考研2022年同济大学( )

设g(x)在[0,+∞)上有连续导数,并且g(0)=1,令

f(r)=∭x^2+y^2+z^2≤r^2 g(x2+y2+z2)dxdydz,r≥0

证明:f(r)在r=0处三阶可导,并求f+''' (0).

令x=ρsinφcosθ,y=ρsinφsinθ,z=ρcosφ,则

f(r)=g(ρ2 ) ρ2 sinφdρ=4πg(ρ2 ) ρ2

先求其一阶导数,

当r>0时,f' (r)=4πg(r2 ) r2

r=0时,求其右导数:

f+' (0)=(f(r)-f(0))/(r-0)=4π/r g(ρ2 ) ρ2 dρ=4πg(r2 ) r2 =0

再求二阶导数:

当r>0时,f'' (r)=8πr[g' (r2 ) r2+g(r2)];

当r=0时,求其右导数:

f+'' (0)=(f' (r)-f+' (0))/(r-0)=4πg(r2)r=0

∴f(r)在0点的三阶右导数为:

f+''' (0)=(f'' (r)-f+'' (0))/(r-0)=8π[g' (r2 ) r2+g(r2 )]=8πg(0)=8π

考研2022年北京师范大学( )

计算∬Ωe(x-y)/(x+y) dΩ,其中Ω:x≥0,y≥0,x+y≤1.

令u=x+y,v=x-y

则x=1/2 (u+v),y=1/2 (u-v).

根据题意,可得:0≤u≤1,-u<v<u,

∴原式=du ev/u∙1/2dv=1/2 u(e-e-1) du=(e-e-1)/4.