已知u是Ω=[0,1]×[0,1]×[0,1]上的正值连续函数，Ip(u)=(∭Ωupdxdydz)1/p
证明：
Ip(u)=
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证明题（2022年武汉大学）
答案解析
对Ip (u)作恒等变换：Ip (u)=(∭Ωup dxdydz)1/p=下面考虑1/p ln(∭Ωup dxdydz)的极限.一般地，对于lnx，有(lnx)'=1/x,(lnx)''=-1/x2 <0,将lnx在x0处展开：lnx=lnx0+1/x0 (x-x0 )-1/(2!ξ2 ) (x-x0 )2,ξ介于x与x0之间，故：lnx≤lnx0+1/x0 (x-x0) ①记x=up,x0=∭Ωup dxdydz，代入①式得：lnup≤lnx0+1/x0 (up-x0)，两边同时积分得：∭Ωlnup dxdydz≤ln(∭Ωup dxdydz)+1/x0 (∭Ωup dxdydz-∭Ωup dxdydz...
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已知函数f(x)=，则dxf(x)f(y-x)dy=__________.
计算 ∬D(√x+y)dxdy，其中D={(x,y)|0≤x≤1,x≤y≤2x}.
计算∬Ωe(x-y)/(x+y) dΩ，其中Ω:x≥0,y≥0,x+y≤1.
设区域D为x2+y2≤R2，则∬D(x2/a2 +y2/b2 )dxdy=____________.
设函数f(x)在区间[0,1]上连续，并设f(x) dx=A,求dxf(x)f(y)dy.
已知函数f(t)=dxsin(x/y)dy，则f'(π/2)=______.
计算二重积分：∬Dds其中，积分区域D为曲线y(x)=与直线y=0所围成的区域.提示：①首先考察曲线y=y(x)⟹F(x,y)=0为何种曲线，②然后采用“平面极坐标”方法作计算？
计算二重积分∬D3x/(x2+xy3 ) dxdy,D:平面曲线xy=1,xy=3,y2=x,y2=3x所围成的有界闭区域.
设空间区域Ω1:x2+y2+z2≤R2,z≥0,Ω2:x2+y2+z2≤R2,x≥0,y≥0,z≥0，则【 】
计算三重积分∭Ω(x+z)dV，其中Ω是由曲面z=与z=所围成的区域.
求∭Ω(x2+y2+z)dV，其中Ω是由曲线绕z轴旋转一周而成的曲面与平面z=4所围成的立体.
计算I=∭Ω(x2+y2)dV，其中Ω为平面曲线绕z轴旋转一周形成的曲面与平面z=8所围成的区域.
已知V是三个坐标平面以及x+y+2z=1,x+y+2z=2围成的封闭区域，求∭V1/(x+y+2z)2 dV
求(x2+y2+z2 )2=4(x2+y2-z2)所围立体的体积.