大学数学-考研试题(同济大学 2022年三重积分)

问答题（2022年同济大学）

设g(x)在[0,+∞)上有连续导数，并且g(0)=1，令

f(r)=∭_{x^2+y^2+z^2≤r^2} g(x²+y²+z²)dxdydz,r≥0

证明：f(r)在r=0处三阶可导，并求f₊''' (0).

答案解析

令x=ρsinφcosθ,y=ρsinφsinθ,z=ρcosφ,则f(r)=dθ dφg(ρ2 ) ρ2 sinφdρ=4πg(ρ2 ) ρ2 dρ先求其一阶导数，当r>0时，f' (r)=4πg(r2 ) r2；r=0时，求其右导数：f+' (0)=(f(r)-f(0))/(r-0)=4π/r g(ρ2 ) ρ2 dρ=4πg(r2 ) r2 =0再求...

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讨论

重积分

设半径为R的球面Σ的球心在定球面x2+y2+z2=a2 (a>0)上，问当R为何值时，球面Σ在定球面内部的那部分的面积最大？

设D是xOy平面上以(1,1),(-1,1)和(-1,-1)为顶点的三角形区域，D1是D在第一象限的部分，则∬D(xy+cosxsiny)dxdy等于【】

设函数f(x)在区间[0,1]上连续，并设f(x) dx=A,求dxf(x)f(y)dy.

已知函数f(x)=，则dxf(x)f(y-x)dy=__________.

计算 ∬D(√x+y)dxdy，其中D={(x,y)|0≤x≤1,x≤y≤2x}.

已知函数f(t)=dxsin(x/y)dy，则f'(π/2)=______.

计算二重积分：∬Dds其中，积分区域D为曲线y(x)=与直线y=0所围成的区域.提示：①首先考察曲线y=y(x)⟹F(x,y)=0为何种曲线，②然后采用“平面极坐标”方法作计算？

计算二重积分∬D3x/(x2+xy3 ) dxdy,D:平面曲线xy=1,xy=3,y2=x,y2=3x所围成的有界闭区域.

计算I=∭Ω(x2+y2)dV，其中Ω为平面曲线绕z轴旋转一周形成的曲面与平面z=8所围成的区域.

设空间区域Ω1:x2+y2+z2≤R2,z≥0,Ω2:x2+y2+z2≤R2,x≥0,y≥0,z≥0，则【】

三重积分

计算三重积分∭Ω(x+z)dV，其中Ω是由曲面z=与z=所围成的区域.

求∭Ω(x2+y2+z)dV，其中Ω是由曲线绕z轴旋转一周而成的曲面与平面z=4所围成的立体.

求(x2+y2+z2 )2=4(x2+y2-z2)所围立体的体积.

已知u是Ω=[0,1]×[0,1]×[0,1]上的正值连续函数，Ip(u)=(∭Ωupdxdydz)1/p证明：Ip(u)=

求三重积分∭Ω(x2+y2)dxdydz，其中积分区域Ω为x2+y2=2z与z=1围成的区域.

已知V是三个坐标平面以及x+y+2z=1,x+y+2z=2围成的封闭区域，求∭V1/(x+y+2z)2 dV

xy (3x-4y)/(x2+y2)

(xk-1)/(xλx-1)，其中k是正整数，λ≠0是常数.

验证函数f(x)=lnx在区间[1,+∞)上一致连续，但在(0,1)上不一致连续.

计算积分∬SzdS，其中S为曲面x2+z2=2az(a>0)被曲面z=所截的部分.

高阶导数

设y=y(x)由方程xef(y)=eyln29确定，其中具有二阶导数，f'≠1，则= ____________________.

设f(x)=(n=1,2,3,…)，求f(n)(x).

设y=ln(1-x2)，求y(n).

设函数y=y(x)由参数方程确定，则=_______.

已知函数f(x)具有任意阶导数，且f' (x)=[f(x)]2，则当n为大于2的正整数时，f(x)的n阶导数f(n) (x)等于【】

设f(x)=3x3+x2|x|，则使f(n)(0)存在的最高阶n为【】

已知函数f(x)=esinx+e-sinx，则f'''(2π)=__________.

已知y=arctanx.(1)证明：2xy'+(1+x2 )y''=0;(2)求y(n).

已知f(x)在0处n+k(k≥1)次可微，且f(n+i) (0)=0,f(n+k) (0)≠0,i=0,1,⋯,k-1f(x)=f(0)+f' (0)x+⋯+f(n-1)(0)/(n-1)! x(n-1)+f(n)(θx)/n! xn，求⁡θ.

已知f(x)在(-1,1)上有任意阶导数，f(0)=0，且对任意的正整数n都有f(n)(0)=0.设存在C≥0，使得对任意的正整数n和x∈(-1,1)，有|f(n)(x)|≤n!Cn.证明：f(x)在(-1,1)上恒为零.