大学数学-考研试题(武汉大学 2022年三重积分)

问答题（2022年武汉大学）

已知V是三个坐标平面以及x+y+2z=1,x+y+2z=2围成的封闭区域，求

∭_V1/(x+y+2z)² dV

答案解析

令⟹J=(∂(x,y,z))/(∂(u,v,w))===1/2新的积分区变为Ω:v≥0,w≥0,v+w≤u,1≤u≤2∭V1/(x+y+2z)2 dV=∭Ω1/2u2 dΩ=1/2u2 du∬a≤v+...

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讨论

大学数学

设f(x),g(x)在区间[a,b]上连续，且g(x)取正值，由积分中值定理有f(t)g(t)dt=f(ξ)g(t) dt(a≤ξ≤x≤b)若f+' (a)存在且f+' (a)≠0，求(ξ-a)/(x-a).

已知f(x)在0处n+k(k≥1)次可微，且f(n+i) (0)=0,f(n+k) (0)≠0,i=0,1,⋯,k-1f(x)=f(0)+f' (0)x+⋯+f(n-1)(0)/(n-1)! x(n-1)+f(n)(θx)/n! xn，求⁡θ.

已知an=(|sint|+|cost|)dt,bn=e-t sintdt，求anbn.

计算(2-x-2cosx)/(xex-ln⁡(1+x))

试问：级数(1+1/2+⋯+1/n)/(n(n+2))是否收敛？若收敛，试求它的和.

计算积分ln⁡(1-2acosx+a2)dx.

设g(x)在[0,+∞)上有连续导数，并且g(0)=1，令f(r)=∭x^2+y^2+z^2≤r^2 g(x2+y2+z2)dxdydz,r≥0证明：f(r)在r=0处三阶可导，并求f+''' (0).

设函数项级数ne-nx ,x∈(0,+∞).(1)证明此级数在(0,+∞)上收敛但不一致收敛；(2)求此级数的和函数；(3)给出数项级数n/e3n 的和.

设函数f(x)在区间[a,b]上二阶连续可导，且f(a)=f(b)=0,f' (a) f' (b)>0，证明：在开区间(a,b)内存在点x1,x2,x3，使得f(x1)=0,f'(x2)=0,f''(x3)=0.

计算积分∬SzdS，其中S为曲面x2+z2=2az(a>0)被曲面z=所截的部分.

重积分

设半径为R的球面Σ的球心在定球面x2+y2+z2=a2 (a>0)上，问当R为何值时，球面Σ在定球面内部的那部分的面积最大？

设D是xOy平面上以(1,1),(-1,1)和(-1,-1)为顶点的三角形区域，D1是D在第一象限的部分，则∬D(xy+cosxsiny)dxdy等于【】

已知函数f(x)=，则dxf(x)f(y-x)dy=__________.

计算 ∬D(√x+y)dxdy，其中D={(x,y)|0≤x≤1,x≤y≤2x}.

计算∬Ωe(x-y)/(x+y) dΩ，其中Ω:x≥0,y≥0,x+y≤1.

设空间区域Ω1:x2+y2+z2≤R2,z≥0,Ω2:x2+y2+z2≤R2,x≥0,y≥0,z≥0，则【】

计算三重积分∭Ω(x+z)dV，其中Ω是由曲面z=与z=所围成的区域.

积分dxdy=__________.

求∭Ω(x2+y2+z)dV，其中Ω是由曲线绕z轴旋转一周而成的曲面与平面z=4所围成的立体.

设区域D为x2+y2≤R2，则∬D(x2/a2 +y2/b2 )dxdy=____________.

三重积分

计算I=∭Ω(x2+y2)dV，其中Ω为平面曲线绕z轴旋转一周形成的曲面与平面z=8所围成的区域.

已知u是Ω=[0,1]×[0,1]×[0,1]上的正值连续函数，Ip(u)=(∭Ωupdxdydz)1/p证明：Ip(u)=

求(x2+y2+z2 )2=4(x2+y2-z2)所围立体的体积.

求三重积分∭Ω(x2+y2)dxdydz，其中积分区域Ω为x2+y2=2z与z=1围成的区域.

已知{un(x)}是可微函数列，且un(x)在[a,b]上一致有界，证明：若un(x)收敛，则un(x)必定一致收敛.

已知u是Ω=[0,1]×[0,1]×[0,1]上的正值连续函数，Ip(u)=(∭Ωupdxdydz)1/p证明：Ip(u)=

已知S={(x,y,z)│x2+4y2+9z2=1,z≤0}取下侧，求∬S(yez+x)dydz+(zex+y)dzdx+(xcosxy+z)dxdy

已知含参变量积分F(x)=sin⁡(xy)/(ln⁡(lny)) dy，证明：(1) F(x)在[δ,+∞)上关于x一致收敛（δ>0）(2) F(x)在(0,+∞)上关于x不一致收敛.

已知f(x)在[a,b]上三次可微，且f(a)=f' (a)=f(b)=0,|f''' (x)|≤M,证明：|f(x) dx|≤M/72 (b-a)4.

已知V是三个坐标平面以及x+y+2z=1,x+y+2z=2围成的封闭区域，求∭V1/(x+y+2z)2 dV