大学数学-考研试题(理工数学Ⅰ 1997年三重积分)

计算题（1997年理工数学Ⅰ）

计算I=∭_Ω(x²+y²)dV，其中Ω为平面曲线绕z轴旋转一周形成的曲面与平面z=8所围成的区域.

答案解析

I=dθ r drr²dz=2πr³ (8-r²/2) dr=1024π/3.

讨论

大学数学

设两个相互独立的随机变量X和Y的方差分别为4和2，则随机变量3X-2Y的方差是【】

设α1=,α2=,α3=，则三条直线a1 x+b1 y+c1=0,a2 x+b2 y+c2=0,a3 x+b3 y+c3=0,(其中ai2+bi2≠0,i=1,2,3)相交于一点的充要条件是【】

设F(x)=esintsintdt，则F(x)【】

设在区间[a,b]上f(x)>0,f' (x)<0,f''(x)>0，记S1=f(x)dx,S2=f(b)(b-a),S3=1/2[f(a)+f(b)](b-a)，则【】

二元函数f(x,y)=在点(0,0)处【】

袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球，今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第2个人取行得黄球的概率是________.

设A=，B为3阶非零矩阵，且AB=0，则t=______.

对数螺线ρ=eθ在点(ρ,θ)=(eπ/2,π/2)处的切线的直角坐标方程为__________.

设幂级数anxn 的收敛半径为3，则幂级数nan (x-1)n+1的收敛区间为________.

⁡(3sinx+x2cos⁡(1/x))/((1+cosx)ln⁡(1+x))=________.

重积分

计算三重积分∭Ω(x+z)dV，其中Ω是由曲面z=与z=所围成的区域.

积分dxdy=__________.

设D是xOy平面上以(1,1),(-1,1)和(-1,-1)为顶点的三角形区域，D1是D在第一象限的部分，则∬D(xy+cosxsiny)dxdy等于【】

求∭Ω(x2+y2+z)dV，其中Ω是由曲线绕z轴旋转一周而成的曲面与平面z=4所围成的立体.

设区域D为x2+y2≤R2，则∬D(x2/a2 +y2/b2 )dxdy=____________.

设函数f(x)在区间[0,1]上连续，并设f(x) dx=A,求dxf(x)f(y)dy.

已知函数f(t)=dxsin(x/y)dy，则f'(π/2)=______.

计算二重积分：∬Dds其中，积分区域D为曲线y(x)=与直线y=0所围成的区域.提示：①首先考察曲线y=y(x)⟹F(x,y)=0为何种曲线，②然后采用“平面极坐标”方法作计算？

计算二重积分∬D3x/(x2+xy3 ) dxdy,D:平面曲线xy=1,xy=3,y2=x,y2=3x所围成的有界闭区域.

设空间区域Ω1:x2+y2+z2≤R2,z≥0,Ω2:x2+y2+z2≤R2,x≥0,y≥0,z≥0，则【】

三重积分

求(x2+y2+z2 )2=4(x2+y2-z2)所围立体的体积.

已知u是Ω=[0,1]×[0,1]×[0,1]上的正值连续函数，Ip(u)=(∭Ωupdxdydz)1/p证明：Ip(u)=

求三重积分∭Ω(x2+y2)dxdydz，其中积分区域Ω为x2+y2=2z与z=1围成的区域.

已知V是三个坐标平面以及x+y+2z=1,x+y+2z=2围成的封闭区域，求∭V1/(x+y+2z)2 dV

设g(x)在[0,+∞)上有连续导数，并且g(0)=1，令f(r)=∭x^2+y^2+z^2≤r^2 g(x2+y2+z2)dxdydz,r≥0证明：f(r)在r=0处三阶可导，并求f+''' (0).

函数，在 x=0处【】

二次型f(x1,x2,x3 ) = (x1 + x2)2 + (x2 + x3)2 - (x3 - x1)2的正惯性指数依次为【】

设A,B为随机事件，且0<P(B)<1，下列命题中为假命题的是【】

已知A=(1) 求正交矩阵P，使得PTAP为对角矩阵；(2) 求正定矩阵C，使得C2 = (a+3)E-A.

当x=______时，函数y=x∙2x取得极小值.