大学数学-考研试题(理工数学Ⅰ 1997年齐次线性方程组)

填空题（1997年理工数学Ⅰ）

设A=，B为3阶非零矩阵，且AB=0，则t=______.

答案解析

-3

讨论

矩阵的秩

设A为m×n且秩为s的矩阵，X为p×m的列满秩矩阵，即r(X)=m，而Y为n×q的行满秩矩阵，即r(Y)=n。证明：r(A)=r(XA)=r(AY)=r(XAY)其中符号r(T)表示矩阵T的秩。

设矩阵A=，求P(A).

设A是n阶方阵(n≥2),A*为A的伴随矩阵，(1)证明：|A* |=|A|n-1;(2)证明：R(A* )=.

设A=，B是三阶非零方阵，且AB=O，求a,b以及B的秩.

设A是4×3矩阵，且A的秩r(A)=2，而B=，则r(AB)=________.

设A=,A11∈Cr×r,rankA11=r且rankA=rankA11，证明：(1) A22-A21 A11-1 A12=0(2) N()=R()其中N(T),R(T)分别表示T∈Cm×n的零空间与列空间，即N(T)={x|Tx=0}⊂Cn R(T)={y|y=Tx,x∈Cn}⊂Cm Cm×n表示 m×n复数矩阵空间，Cn表示复n维列向量构成的线性空间，In-r表示 (n-r)×(n-r)单位矩阵。

已知Q=，P为3阶非零矩阵，且满足PQ=0，则【】

设A是n阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，证明秩R(A*)与R(A)之间满足R(A* )=

设A≠0，证明：R(A)=1的充要条件是A可表示为一个列向量与一个行向量的乘积。

设A=，其中a_i≠0,b≠0(i=1,2,⋯,n)，则矩阵A的秩r(A)=________.

齐次线性方程组

设A=(α1,α2,α3,α4)为4阶正交矩阵，若矩阵A = ,β = ,k表示任意常数，则线性方程组Ax=β的通解为x=【】

设h(z)是关于自然变量z的多项式.考虑系数在多项式环C[z]中的关于y的三次方程y3-3zy+h(z)=0.(i)当h(z)=-z3-1时，找到此方程的至少一个一次多项式函数解.(ii)假设方程y3-3zy+h(z)=0有三个互不相等的整函数解y=f1(z),f2(z),f3(z)，则h(z)可以取哪些多项式？注：整函数指在整个复平面上解析的函数.

设线性方程组Ax=b的系数矩阵A=。(1)试求能使Jacobi迭代法收敛的a的取值范围；(2)对该方程组写出Jacobi迭代格式（设b=(b1,b2,b3)T已知）。

对方程组，试问用Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代是否收敛？为什么？

电子科技大学齐次线性方程组

设X1,X2是齐次线性方程组Ax=0的基础解系，Y1,Y2是非齐次线性方程组Ax=b的两个解，证明X=k1 (X1+X2 )+k2 (X1-X2 )+(3Y1-2Y2 ),k1,k2∈R是Ax=b的通解。

设f(x)=，则f(x)=0的根为____________.

设A为n阶方阵，A*为A的伴随矩阵且A11≠0,b≠0，其中A11为A的a11对应的代数余子式.证明：AX=b有无穷多个解⟺b是A* X=0的解.

设3阶矩阵A=(α1,α2,α3)，B=(β1,β2,β3)，若向量组α1,α2,α3可以由向量组β1,β2线性表出，则【】

要使ξ1=,ξ2=都是方程组Ax=0的解，只要系数矩阵A为【】

线性方程组

已知方程组I:，方程组II:问a,b为何值时方程组I和方程组II有相同的解？并求此相同解。

设X1=(0 2 0)T,X2=(-3 3 2)T是方程组的两个解，求此方程组的一般解。

设x1-x2=a1,x2-x3=a2,x3-x4=a3,x4-x5=a4,x5-x1=a5。证明此方程组有解的充分必要条件为ai =0。

用LU方法求解方程组.

用Gauss消去法和Gauss列主元消去法求解方程组

设A为m×n矩阵，非齐次线性方程组Ax ̅=β ̅有唯一解的充分必要条件为：______________.

当λ,μ为何值时，方程组有惟一解？无解？有无穷解？无穷解时并求其全解.

设n阶矩阵A的各行元素之和均为零，且A的秩为n-1，则线性方程组Ax=0的通解为____________.

设四元线性齐次方程组(Ⅰ)为，又知某线性齐次方程组(Ⅱ)的通解为k1 (0,1,1,0)+k2 (-1,2,2,1).(1)求线性方程组(Ⅰ)的基础解系；(2)问线性方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解？若有，则求出所有的非零公共解.若没有，则说明理由.

问λ为何值时，线性方程组有解？并求出解的一般形式.