大学数学-考研试题(武汉大学 2022年高阶导数)

问答题（2022年武汉大学）

已知f(x)在0处n+k(k≥1)次可微，且f⁽ⁿ⁺ⁱ⁾ (0)=0,f^(n+k) (0)≠0,i=0,1,⋯,k-1

f(x)=f(0)+f' (0)x+⋯+f^(n-1)(0)/(n-1)! x^(n-1)+f⁽ⁿ⁾(θx)/n! xⁿ，求⁡θ.

答案解析

使用泰勒展式将f(x)在0处展开：f(x)=f(0)+f' (0)x+⋯+f(n-1)(0)/(n-1)! xn-1+f(n)(0)/n! xn+f(n+k)(0)/(n+k)! xn+k+o(xn+k) ①由已知条件f(x)=f(0)+f' (0)x+⋯+f(n-1)(0)/(n-1)! xn-1+f(n) (θx)/n! xn，...

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讨论

大学数学

已知an=(|sint|+|cost|)dt,bn=e-t sintdt，求anbn.

计算(2-x-2cosx)/(xex-ln⁡(1+x))

试问：级数(1+1/2+⋯+1/n)/(n(n+2))是否收敛？若收敛，试求它的和.

计算积分ln⁡(1-2acosx+a2)dx.

设g(x)在[0,+∞)上有连续导数，并且g(0)=1，令f(r)=∭x^2+y^2+z^2≤r^2 g(x2+y2+z2)dxdydz,r≥0证明：f(r)在r=0处三阶可导，并求f+''' (0).

设函数项级数ne-nx ,x∈(0,+∞).(1)证明此级数在(0,+∞)上收敛但不一致收敛；(2)求此级数的和函数；(3)给出数项级数n/e3n 的和.

设函数f(x)在区间[a,b]上二阶连续可导，且f(a)=f(b)=0,f' (a) f' (b)>0，证明：在开区间(a,b)内存在点x1,x2,x3，使得f(x1)=0,f'(x2)=0,f''(x3)=0.

计算积分∬SzdS，其中S为曲面x2+z2=2az(a>0)被曲面z=所截的部分.

先说明广义积分dx/(a4+x4 )收敛（a>0是常数），再计算其积分值.

验证函数f(x)=lnx在区间[1,+∞)上一致连续，但在(0,1)上不一致连续.

高阶导数

设y=y(x)由方程xef(y)=eyln29确定，其中具有二阶导数，f'≠1，则= ____________________.

设f(x)=(n=1,2,3,…)，求f(n)(x).

设y=ln(1-x2)，求y(n).

设函数y=y(x)由参数方程确定，则=_______.

已知函数f(x)具有任意阶导数，且f' (x)=[f(x)]2，则当n为大于2的正整数时，f(x)的n阶导数f(n) (x)等于【】

设f(x)=3x3+x2|x|，则使f(n)(0)存在的最高阶n为【】

已知函数f(x)=esinx+e-sinx，则f'''(2π)=__________.

已知y=arctanx.(1)证明：2xy'+(1+x2 )y''=0;(2)求y(n).

已知f(x)在(-1,1)上有任意阶导数，f(0)=0，且对任意的正整数n都有f(n)(0)=0.设存在C≥0，使得对任意的正整数n和x∈(-1,1)，有|f(n)(x)|≤n!Cn.证明：f(x)在(-1,1)上恒为零.

已知{un(x)}是可微函数列，且un(x)在[a,b]上一致有界，证明：若un(x)收敛，则un(x)必定一致收敛.

导数与微分

若f(x),g(x)在[a,b]上可导，∀x∈[a,b],f' (x)≤g'(x)，则∀x∈[a,b],f(x)≤g(x).

设函数g(x)在x=0的领域内有定义，g(0)=g'(0)=0,f(x)=，求f'(0).

设f(x)在[a,b]上单调，证明其变上限积分F(x)=f(t)dt在每一x∈(a,b)的单侧导数F+'(x),F_'(x)均存在.

设f(t)=t(1+1/x)2tx ，则f' (t)=__________.

设y=ln⁡(1+ax)，其中a是非零常数，则y'=__________，y''=__________.

设f(x)在x=a处可导，则(f(a+x)-f(a-x))/x等于【】

设f(t)=⁡t(1+1/x)2x，则f' (t)=________________.

若y=f(x)，有f'(x0)=1/2，则当∆x→0时，该函数在x=x0处的微分dy是【】

已知y=1+xexy，求 y'|x=0及y''|x=0.

设f(x)可导，F(x)=f(x)(1+|sinx|)，则f(x)=0是F(x)在x=0处可导的【】