大学数学-考研试题(同济大学 2022年闭区间上的连续函数)

证明题（2022年同济大学）

验证函数f(x)=lnx在区间[1,+∞)上一致连续，但在(0,1)上不一致连续.

答案解析

对∀ε>0,取δ=ε，对∀x1,x2∈[1,+∞)，当|x1-x2 |<δ=ε时，∃ξ∈(x1,x2),使得|f(x1 )-f(x2 )|=|f' (ξ)||x1-x2 |=1/ξ |x1-x2 |<|x1-x2 |<ε故f(x)=lnx在[1,...

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讨论

连续函数

设f(x)在(a,b)上一致连续，则f(x)在(a,b)上有界.

设函数f(x)在[0,+∞)连续，(f(x)-k√x)=0,k>0为常数，证明：f(x)在[0,+∞)上一致连续.

(1)叙述函数f(x)在区间I一致连续的定义；(2)用肯定语言叙述函数f(x)在区间I不一致连续的定义；(3)设f(x)=sin 1/x,a>0为任一常数，证明：函数f(x)在区间[a,+∞)上一致连续，但在区间(a,+∞)上不一致连续。

设函数f(x)在区间(-∞,+∞)绝对可积，函数g(x)在区间(-∞,+∞)有界且满足：|g(x)-g' (x)|≤L|x-x' |,L>0是常数.证明：函数F(y)=f(x)g(x)dx在区间(-∞,+∞)上一致连续.

设函数f(x)=，试定义f(1)的数值，使f(x)在x=1连续.

试问函数f(x,y)=sin⁡[π/(1-x2-y2 )]在区域D:{(x,y)∈R2;x2+y2<1}上是否一致连续？证明你的结论.

设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，(1)证明：f(x)在[a,b]上一定有最大值和最小值（选最小值证明）；(2)进一步，还假设f(x)在[a,b]上处处不为零，试用定义证明函数1/f2(x)在[a,b]上连续.

设f(x)=在(-∞,+∞)内连续，则a=________.

设f(x)=在x=0处连续，则常数a与b应满足的关系是__________.

设F(x)=，其中f(x)在x=0处可导，f' (0)≠0,f(0)=0，则x=0是F(x)的【】

函数与极限

设 f(x) 是连续函数，F(x)是 f(x)的原函数，则【】

设函数f(x)在[a,b]上有定义，在(a,b)上连续.下面哪个条件能够判定函数f(x)在[a,b]上有最大值【】

在平面直角坐标系中，椭圆x2+xy+y2=1的长轴方程为__________，位于x轴上半平面内的焦点坐标为__________.

设f(x)=x3-3x2-x+9，已知f的下列函数值x -1.3 -1.4 -1.5 -1.6 -1.7f(x) 3.033 1.776 0.375 -1.176 -2.883求方程f(x)=0在区间[-1.7,-1.3]上根的近似值（用牛顿反插值法）。

能否用迭代法求下列方程，如不能，将方程改写为能用迭代法求解的形式.x=4-αx.

若z=x+iy,f(z)=u(x,y)+iv(x,y)解析，且u-v=(x-y)(x2+4xy+y2)，求f(z).

设f(x)=,f[φ(x)]=1-x，且φ(x)≥0，求φ(x)及其定义域.

f(x)=|xsinx| ecosx,-∞<x<+∞是【】

设函数f(x)=，则函数f[f(x)]=__________.

(e2x-1-ln⁡(2+x))/x=【】

闭区间上的连续函数

若函数f(x)在[0,1]上连续，f(0)=0,f(1)=1，则对任何自然数n≥1，存在ξ_n∈[0,1]，使得f(ξn+1/n)=f(ξn )+1/n.

已知函数f(x)在[a,+∞)上连续，且f(x)存在，证明：(1)函数f(x)有界；(2)存在ξ∈[a,+∞)，使得f(ξ)为f(x)在[a,+∞)上的最大值或最小值.

设函数f(x)在(0,1)上有定义，且函数exf(x)与函数e-f(x)在(0,1)上都是单调递增的，求证：f(x)在(0,1)上连续.

给定x0>0以及[0,+∞)上连续函数f(x)，证明：至多具有一个定义于[0,+∞)上的连续函数y(x)满足对任意的x>0，有dy/dx=-y³+f(x)，其中y(0)=y0.

xy (3x-4y)/(x2+y2)

(xk-1)/(xλx-1)，其中k是正整数，λ≠0是常数.

计算积分∬SzdS，其中S为曲面x2+z2=2az(a>0)被曲面z=所截的部分.

试问：级数(1+1/2+⋯+1/n)/(n(n+2))是否收敛？若收敛，试求它的和.

设函数f(x)在区间[a,b]上二阶连续可导，且f(a)=f(b)=0,f' (a) f' (b)>0，证明：在开区间(a,b)内存在点x1,x2,x3，使得f(x1)=0,f'(x2)=0,f''(x3)=0.

设函数项级数ne-nx ,x∈(0,+∞).(1)证明此级数在(0,+∞)上收敛但不一致收敛；(2)求此级数的和函数；(3)给出数项级数n/e3n 的和.