大学数学-考研试题(理工数学Ⅰ 1990年基本初等函数)

填空题（1990年理工数学Ⅰ；1990年理工数学Ⅱ）

设函数f(x)=，则函数f[f(x)]=__________.

答案解析

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讨论

基本初等函数

已知函数f(x)是周期为π的奇函数，且当x∈（0，π/2）时f(x)=sinx-cosx+2，则当x∈（π，π/2）时f(x)=____________________.

函数y=sinx|sinx|（其中|x|≤π/2）的反函数为____________________.

设a1=1,an=sinan-1 (n≥2)，证明：an≥(n≥2).

设f(x)=x3-3x2-x+9，已知f的下列函数值x -1.3 -1.4 -1.5 -1.6 -1.7f(x) 3.033 1.776 0.375 -1.176 -2.883求方程f(x)=0在区间[-1.7,-1.3]上根的近似值（用牛顿反插值法）。

能否用迭代法求下列方程，如不能，将方程改写为能用迭代法求解的形式.x=4-αx.

设函数f(x)在[a,b]上有定义，在(a,b)上连续.下面哪个条件能够判定函数f(x)在[a,b]上有最大值【】

设曲线y=y(x)(x>0)经过点(1,2)，该曲线上任一点P(x,y)到y轴的距离等于该点处的切线在y轴上的截距.(Ⅰ)求y(x)；(Ⅱ)求函数f(x)=y(t)dt在(0,+∞)上的最大值.

设空间有界区域Ω中，柱面x²+y²=1与平面z=0和x+z=1围成，Σ为Ω边界的外侧，计算曲面积分I=∰Σ2xzdydz+xzcosydzdy+3yzsinxdxdy

函数，在 x=0处【】

设函数f(x)=sinx/(1+x2)在x=0处的3次泰勒多项式为ax+bx2+cx3，则【】

函数

f(x)=|xsinx| ecosx,-∞<x<+∞是【】

已知φ(x)=|x-t|f(t)dt，若积分存在，且f(x)>0，证明：φ(x)为[a,b]上的凸函数.

若z=x+iy,f(z)=u(x,y)+iv(x,y)解析，且u-v=(x-y)(x2+4xy+y2)，求f(z).

设f(x)=,f[φ(x)]=1-x，且φ(x)≥0，求φ(x)及其定义域.

在平面直角坐标系中，椭圆x2+xy+y2=1的长轴方程为__________，位于x轴上半平面内的焦点坐标为__________.

设 f(x) 是连续函数，F(x)是 f(x)的原函数，则【】

设函数f(x)在区间[0,1]上连续，则f(x)dx=【】

已知α1=,α2=,α3=，记β1=α1,β2=α2 - kβ1,β3=α3 - l1 β1 - l2 β2，若β1,β2,β3 两两正交，则l1,l2依次为【】

设A,B为n阶实矩阵，下列结论不成立的是【】

设A,B为随机事件，且0<P(B)<1，下列命题中为假命题的是【】

函数与极限

浙江省数列极限存在准则

莫斯科电子技术学院数列极限存在准则

莫斯科民族友谊大学数列极限存在准则

江苏省数列极限存在准则

南京工业大学数列极限存在准则

设数列{xn}为x1=1，xn+1= (n=1,2,…)，求证数列{xn}收敛，并求其极限.

设数列{xn}为x1=，x2=，xn+2=(n=1,2,…)，求证数列{xn}收敛，并求其极限.

莫斯科财政金融学院数列极限

设函数f(x)在x=a可导，且f(a)≠0，则=__________。

在一个虚拟的世界中，每个居民（设想为没有大小的几何点）依次编号为1,2,⋯.为了抗击某种疫情，这些居民要接种某疫苗，并在注射后在现场留观一段时间。现在假设留观的场所是平面上的一个半径为1/4的圆周。为了安全,要求第m号居民和第n居民之间的距离dm,n满足(m+n)dm,n≥1这里我们考虑的是圆周上的距离，也就是两点间劣弧的弧长。那么1.选择题(4分)下列选项（）符合实际情况。A 这个留观室最多能容纳8个居民B 这个留观室能容纳的居民个数有大于8的上限:C 这个留观室可以容纳任意多个居民。2.证明题(6分)证明你的论断。