证明题(2021年5月阿里巴巴

在一个虚拟的世界中,每个居民(设想为没有大小的几何点)依次编号为1,2,⋯.为了抗击某种疫情,这些居民要接种某疫苗,并在注射后在现场留观一段时间。现在假设留观的场所是平面上的一个半径为1/4的圆周。为了安全,要求第m号居民和第n居民之间的距离dm,n满足

(m+n)dm,n≥1

这里我们考虑的是圆周上的距离,也就是两点间劣弧的弧长。那么

1.选择题(4分)下列选项( )符合实际情况。

A 这个留观室最多能容纳8个居民

B 这个留观室能容纳的居民个数有大于8的上限:

C 这个留观室可以容纳任意多个居民。

2.证明题(6分)证明你的论断。

答案解析

1.选项C符合实际情况.2.我们可以按下述方式安排第1,2,⋯号居民的位置.首先,任意安排第1号居民的位置。对n≥2,若第1,2,⋯,n-1号居民的位置已经被安排好,我们考虑第n号居民不能在哪些位置。对于1≤m≤n-1,由dm,n≥1/(m+n),我们知道,从第m号居民的位置开始,沿顺、逆时针方向各走1/(m+n)的距离,所形成的长度为2/(m+n)的圆弧内部是不可以安排第n号居民的.而这些圆弧的总长度2/(n+1)+2/(n+2)+⋯+2...

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