大学数学-考研试题(考研 2000年数列极限存在准则)

概念题（2000年考研）

求极限

答案解析

由于==1，

==2-1=1，

由于左右极限均存在且相等，因此原式=1.

讨论

数列极限存在准则

设x1=10,xn+1=(n=1,2,⋯)，试证数列{xn}的极限存在，并求此极限.

设-π/2≤xn≤π/2，则【】

已知an=-(-1)n/n(n=1,2,…)，则{an}【】

对有界数列{xn}，下面哪个说法可作为xn=L的定义【】（此题不全，待更新）

已知an=+∞，证明(a1+a2+⋯+an)/n=+∞，并举例说明反过来不成立.

证明数列{sinn}发散.

设数列{xn}满足1/xn+1 +lnxn<1，证明：xn存在，并求之.(已知：1/x+lnx≥1)

求极限(1+++⋯+)/n.

求极限nxnexdx.

求证：((cosx)ndx)1/n =1

数列极限

已知an=a≠0，试用ε-N语言证明：1/an =1/a.

((n-2)/(n+1))n=________.

由下面哪个条件能够判断{xn}收敛【】

(1+22√2+32∛3+⋯+n2)/n3

求极限( -√n)/

已知an=(|sint|+|cost|)dt,bn=e-t sintdt，求anbn.

已知α>0，求极限.

莫斯科财政金融学院数列极限

在一个虚拟的世界中，每个居民（设想为没有大小的几何点）依次编号为1,2,⋯.为了抗击某种疫情，这些居民要接种某疫苗，并在注射后在现场留观一段时间。现在假设留观的场所是平面上的一个半径为1/4的圆周。为了安全,要求第m号居民和第n居民之间的距离dm,n满足(m+n)dm,n≥1这里我们考虑的是圆周上的距离，也就是两点间劣弧的弧长。那么1.选择题(4分)下列选项（）符合实际情况。A 这个留观室最多能容纳8个居民B 这个留观室能容纳的居民个数有大于8的上限:C 这个留观室可以容纳任意多个居民。2.证明题(6分)证明你的论断。

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函数与极限

设函数f(x)在区间(-∞,+∞)绝对可积，函数g(x)在区间(-∞,+∞)有界且满足：|g(x)-g' (x)|≤L|x-x' |,L>0是常数.证明：函数F(y)=f(x)g(x)dx在区间(-∞,+∞)上一致连续.

设函数f(x)=，试定义f(1)的数值，使f(x)在x=1连续.

设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，(1)证明：f(x)在[a,b]上一定有最大值和最小值（选最小值证明）；(2)进一步，还假设f(x)在[a,b]上处处不为零，试用定义证明函数1/f2(x)在[a,b]上连续.

设f(x)=在(-∞,+∞)内连续，则a=________.

设f(x)=在x=0处连续，则常数a与b应满足的关系是__________.

设F(x)=，其中f(x)在x=0处可导，f' (0)≠0,f(0)=0，则x=0是F(x)的【】

试问函数f(x,y)=sin⁡[π/(1-x2-y2 )]在区域D:{(x,y)∈R2;x2+y2<1}上是否一致连续？证明你的结论.

若函数f(x)在[0,1]上连续，f(0)=0,f(1)=1，则对任何自然数n≥1，存在ξ_n∈[0,1]，使得f(ξn+1/n)=f(ξn )+1/n.

已知函数f(x)在[a,+∞)上连续，且f(x)存在，证明：(1)函数f(x)有界；(2)存在ξ∈[a,+∞)，使得f(ξ)为f(x)在[a,+∞)上的最大值或最小值.

验证函数f(x)=lnx在区间[1,+∞)上一致连续，但在(0,1)上不一致连续.