大学数学-考研试题(理工数学Ⅱ 1990年间断点)

单项选择（1990年理工数学Ⅱ）

设F(x)=，其中f(x)在x=0处可导，f' (0)≠0,f(0)=0，则x=0是F(x)的【】

A、连续点

B、第一类间断点

C、第二类间断点

D、连续点或间断点不能由此确定

答案解析

B

讨论

连续函数

设f(x)=在(-∞,+∞)内连续，则a=________.

设f(x)=在x=0处连续，则常数a与b应满足的关系是__________.

讨论f(x)=sinx2在(-∞,+∞)上的一致连续性.

设函数f(x)在(0,1)上有定义，且函数exf(x)与函数e-f(x)在(0,1)上都是单调递增的，求证：f(x)在(0,1)上连续.

设f(x)在(a,b)上一致连续，则f(x)在(a,b)上有界.

设函数f(x)在[0,+∞)连续，(f(x)-k√x)=0,k>0为常数，证明：f(x)在[0,+∞)上一致连续.

(1)叙述函数f(x)在区间I一致连续的定义；(2)用肯定语言叙述函数f(x)在区间I不一致连续的定义；(3)设f(x)=sin 1/x,a>0为任一常数，证明：函数f(x)在区间[a,+∞)上一致连续，但在区间(a,+∞)上不一致连续。

设函数f(x)在区间(-∞,+∞)绝对可积，函数g(x)在区间(-∞,+∞)有界且满足：|g(x)-g' (x)|≤L|x-x' |,L>0是常数.证明：函数F(y)=f(x)g(x)dx在区间(-∞,+∞)上一致连续.

设函数f(x)=，试定义f(1)的数值，使f(x)在x=1连续.

设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，(1)证明：f(x)在[a,b]上一定有最大值和最小值（选最小值证明）；(2)进一步，还假设f(x)在[a,b]上处处不为零，试用定义证明函数1/f2(x)在[a,b]上连续.

函数与极限

南京工业大学数列极限存在准则

设数列{xn}为x1=，x2=，xn+2=(n=1,2,…)，求证数列{xn}收敛，并求其极限.

设函数f(x)在x=a可导，且f(a)≠0，则=__________。

当x→0时，(-1)dt是x7的【】

设f(x)=x3-3x2-x+9，已知f的下列函数值x -1.3 -1.4 -1.5 -1.6 -1.7f(x) 3.033 1.776 0.375 -1.176 -2.883求方程f(x)=0在区间[-1.7,-1.3]上根的近似值（用牛顿反插值法）。

能否用迭代法求下列方程，如不能，将方程改写为能用迭代法求解的形式.x=4-αx.

若z=x+iy,f(z)=u(x,y)+iv(x,y)解析，且u-v=(x-y)(x2+4xy+y2)，求f(z).

对∀p为正整数，|un+p - un |=0，则un 存在.

设xn=1+1/√3+1/√5+⋯+1/ - ，证明xn 存在.

设f(x)=,f[φ(x)]=1-x，且φ(x)≥0，求φ(x)及其定义域.

间断点

∫f'(x)dx=__________.

求∫dx/(a2sin2⁡x+b2cos2⁡x ).( a,b是不全为零的非负常数)

微分方程y''-y=ex+1的一个特解应具有形式（式中a,b为常数）【】

求∫dx/(xln2x)

设3阶矩阵A=(α1,α2,α3)，B=(β1,β2,β3)，若向量组α1,α2,α3可以由向量组β1,β2线性表出，则【】

已知矩阵A=，若下三角可逆矩阵P和上三角可逆矩阵Q使PAQ为对角矩阵，则P,Q可以分别取【】

多项式f(x)=中x3项的系数为______.

设矩阵A=仅有两个不同的特征值.若A相似于对角矩阵，求a,b的值，并求可逆矩阵P，使P-1AP为对角矩阵.

设y=ln⁡(1+ax)，其中a是非零常数，则y'=__________，y''=__________.