大学数学-考研试题(理工数学Ⅱ 1987年有理函数的积分)

计算题（1987年理工数学Ⅱ）

求∫dx/(a²sin²⁡x+b²cos²⁡x ).( a,b是不全为零的非负常数)

答案解析

当ab≠0时，∫dx/(a2 sin2⁡x+b2 cos2⁡x )=∫1/(a2 tan2⁡x+b2 )∙1/cos2⁡x dx=∫1/(a2 tan2⁡x+b2 ) d(tanx)=1/ab ∫1/(1+(a/b tanx)2 ) d(a/b tanx)=1/ab arctan⁡(a...

查看完整答案

讨论

大学数学

若g(x)在x=c处二阶导数存在，且g' (c)=0,g'' (c)<0，则g(c)为g(x)的一个极大值.

证明：若f(x)在(a,b)内可导，且导数f'(x)恒大于0，则f(x)在(a,b)内单调增加.

求由曲线y=1+sinx与直线y=0,x=0,x=π围成的曲边梯形绕x轴旋转而成的旋转体体积V.

在过点O(0,0)和A(π,0)的曲线族y=asinx(a>0)中，求一条曲线L，使沿该曲线从O到A的积分∫L(1+y3) dx+(2x+y)dy的值最小.

求∭Ω(x2+y2+z)dV，其中Ω是由曲线绕z轴旋转一周而成的曲面与平面z=4所围成的立体.

设n是曲面2x2+3y2+z2=6在点P(1,1,1)处的指向外侧的法向量，求函数u=/z在点P处沿方向n的方向导数.

求(cos√x)π/x

设n阶方阵A,B,C满足关系式ABC=E，其中E是n阶单位矩阵，则必有【】

设D是xOy平面上以(1,1),(-1,1)和(-1,-1)为顶点的三角形区域，D1是D在第一象限的部分，则∬D(xy+cosxsiny)dxdy等于【】

已知级数(-1)n an=2,a2n-1 =5，则an 等于【】

有理函数的积分

已知函数f(x)在x=1处可导且(f()-3f(1+sin2⁡x))/x2 =2，求f'(1).

设平面有界区域D位于第一象限，由曲线x2+y2-xy=1,x2+y2-xy=2与直线y=√3 x,y=0围成，计算∬D1/(3x2+y2 ) dxdy.

设函数f(x)=ax-blnx(a>0)有两个零点，则b/a的取值范围是【】

设函数f(x)=secx在x=0处的2次泰勒多项式为1+ax+bx2，则【】

已知函数f(t)=dxsin(x/y)dy，则f'(π/2)=______.

已知f(x)=，求f(x)的凹凸性及渐近线.

曲线(x2 + y2)2 = x2 - y2 (x≥0,y≥0)与x轴围成的区域为D，求xydxdy.

设矩阵A=仅有两个不同的特征值.若A相似于对角矩阵，求a,b的值，并求可逆矩阵P，使P-1AP为对角矩阵.

曲线y=arctanx在横坐标为1的点处的切线方程是__________；法线方程是____________.

设f(x)在x=a处可导，则(f(a+x)-f(a-x))/x等于【】

不定积分

设f(x)在[0,+∞)上连续，在(0,+∞)内可导，g(x)在(-∞,+∞)内有定义且可导，f(0)=g(0)=1，又当x>0时f(x)+g(x)=3x+2，f’(x)-g’(x)=1f’(2x)-g’(-2x)=-12x2+1求f(x)与g(x)的表达式。

浙江省换元积分法

dx=__________。

∫e(x)dx=F(x)+c，则∫e-xf(e-x)dx= 【】

求不定积分∫(ln⁡(1+x2))/x3 dx

定义函数f(x)在[a,b]可积时，必须选假定f(x)在[a,b]上有界.

设f(x)在[a,b]上可积，则f(x)在[a,b]上的连续点有无限多个.

连续函数的不定积分一定存在.

求不定积分∫dx/(x3+x2+x+1).

设f′(sin2x)=cos2x+tan2x，0<x<1，试求函数f(x).