已知函数f(x)在[a,+∞)上连续，且
f(x)存在，证明：
(1)函数f(x)有界；
(2)存在ξ∈[a,+∞)，使得f(ξ)为f(x)在[a,+∞)上的最大值或最小值.
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证明题（2022年北京理工大学）
答案解析
(1)由已知条件，可设f(x)=A，根据极限的定义，对于给定的ε0=1,∃M>0，使得当x>M>a时，有|f(x)-A|<ε0=1，即A-1<f(x)<A+1⟹|f(x)|<|A|+1，所以f(x)在(M,+∞)上有界；又因f(x)在[a,M]上连续，则f(x)在[a,M]上有界；综上，f(x)在[a,+∞)上有界.(2)①若对∀x∈[a,+...
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设f(x)在(a,b)上一致连续，则f(x)在(a,b)上有界.
设函数f(x)在[0,+∞)连续，(f(x)-k√x)=0,k>0为常数，证明：f(x)在[0,+∞)上一致连续.
设函数f(x)=，试定义f(1)的数值，使f(x)在x=1连续.
若函数f(x)在[0,1]上连续，f(0)=0,f(1)=1，则对任何自然数n≥1，存在ξ_n∈[0,1]，使得f(ξn+1/n)=f(ξn )+1/n.
设函数f(x)在(0,1)上有定义，且函数exf(x)与函数e-f(x)在(0,1)上都是单调递增的，求证：f(x)在(0,1)上连续.
试问函数f(x,y)=sin[π/(1-x2-y2 )]在区域D:{(x,y)∈R2;x2+y2<1}上是否一致连续？证明你的结论.
设f(x)=在x=0处连续，则常数a与b应满足的关系是__________.
给定x0>0以及[0,+∞)上连续函数f(x)，证明：至多具有一个定义于[0,+∞)上的连续函数y(x)满足对任意的x>0，有dy/dx=-y³+f(x)，其中y(0)=y0.
验证函数f(x)=lnx在区间[1,+∞)上一致连续，但在(0,1)上不一致连续.
计算∫Lxdy-ydx，其中L:x2+y2=1，取逆时针方向.
已知z=f(u,v)，其中u=2x+y,v=x2，求∂z/∂x,∂z/∂y,∂2/∂x2,∂2z/∂x∂y.
证明：tanx/x > x/sinx，其中x∈(0,π/2).