大学数学-考研(北京理工大学 2022年闭区间上的连续函数)

证明题（2022年北京理工大学）

已知函数f(x)在[a,+∞)上连续，且 lim x->+∞ f(x)存在，证明：

(1)函数f(x)有界；

(2)存在ξ∈[a,+∞)，使得f(ξ)为f(x)在[a,+∞)上的最大值或最小值.

答案解析

(1)由已知条件，可设f(x)=A，根据极限的定义，对于给定的ε0=1,∃M>0，使得当x>M>a时，有|f(x)-A|<ε0=1，即A-1<f(x)<A+1⟹|f(x)|<|...

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讨论

连续函数

设函数f(x)在(0,1)上有定义，且函数exf(x)与函数e-f(x)在(0,1)上都是单调递增的，求证：f(x)在(0,1)上连续.

设f(x)在(a,b)上一致连续，则f(x)在(a,b)上有界.

设函数f(x)在[0,+∞)连续，(f(x)-k√x)=0,k>0为常数，证明：f(x)在[0,+∞)上一致连续.

(1)叙述函数f(x)在区间I一致连续的定义；(2)用肯定语言叙述函数f(x)在区间I不一致连续的定义；(3)设f(x)=sin 1/x,a>0为任一常数，证明：函数f(x)在区间[a,+∞)上一致连续，但在区间(a,+∞)上不一致连续。

设函数f(x)在区间(-∞,+∞)绝对可积，函数g(x)在区间(-∞,+∞)有界且满足：|g(x)-g' (x)|≤L|x-x' |,L>0是常数.证明：函数F(y)=f(x)g(x)dx在区间(-∞,+∞)上一致连续.

设函数f(x)=，试定义f(1)的数值，使f(x)在x=1连续.

设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，(1)证明：f(x)在[a,b]上一定有最大值和最小值（选最小值证明）；(2)进一步，还假设f(x)在[a,b]上处处不为零，试用定义证明函数1/f2(x)在[a,b]上连续.

设f(x)=在(-∞,+∞)内连续，则a=________.

设f(x)=在x=0处连续，则常数a与b应满足的关系是__________.

函数与极限

当x→0时，用“o(x)”表示比x高阶的无穷小，则下列式子中错误的是【】

设an=a,且a≠0，则当n充分大时，有【】.

设{an}，{bn}，{cn}均为非负数列，且an=0， bn=1，cn=∞，则必有【】

考研无穷小与无穷大

考研数列极限存在准则

考研两个重要极限

设a≠，则ln= .

设函数f(x)在（-∞,+∞）内单调有界，{xn}为数列，下列命题正确的是【】

设数列{xn}满足0<x1<π，xn+1=sinxn（n=1,2,...）.证明xn存在，并求该极限.

已知函数f(x)是周期为π的奇函数，且当x∈（0，π/2）时f(x)=sinx-cosx+2，则当x∈（π，π/2）时f(x)=____________________.

闭区间上的连续函数

若函数f(x)在[0,1]上连续，f(0)=0,f(1)=1，则对任何自然数n≥1，存在ξ_n∈[0,1]，使得f(ξn+1/n)=f(ξn )+1/n.

求极限sin4x/(-1)

求极限( -√n)/

已知，求d2y/dx2.

计算 ∬D(√x+y)dxdy，其中D={(x,y)|0≤x≤1,x≤y≤2x}.

计算∫Lxdy-ydx，其中L:x2+y2=1，取逆时针方向.

已知z=f(u,v)，其中u=2x+y,v=x2，求∂z/∂x,∂z/∂y,∂2/∂x2,∂2z/∂x∂y.

证明：tanx/x > x/sinx，其中x∈(0,π/2).

已知：z=x2 F(y/x2)，其中F(u)的一阶偏导数存在，证明：x ∂z/∂x+2y ∂z/∂y=2z.

证明：级数(2n-1)‼/(n!3n)收敛.