证明题(2022年北京理工大学

证明:tanx/x > x/sinx,其中x∈(0,π/2).

答案解析

令f(x)=x2-tanxssinx,则f' (x)=2x-sec2⁡x sinx-sinx,f'' (x)=2-2 sec2⁡x tanxsinx-sec2⁡x cosx-cosx=2-2 tan2⁡x secx-(1/cosx+cosx)≤2-0-2=0,x∈(...

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讨论

已知 =c(c≠0),求k和c.

=__________.

设函数f(x)=ax-blnx(a>0)有两个零点,则b/a的取值范围是【 】

设x0,x1,…,xn为n+1个互异的插值节点,li (x)(i=0,1,…,n)为拉格朗日基本插值多项式(也称为插值基本函数)。证明:(1) li (x)≡1;(2) li (x)xik≡xk.

设f(x)=nx(1-x)n(n为自然数),求(1) f(x)在[0,1]上的最大值M(n)={f(x)}.(2)求M(n).

两实变量x与y之间存在“变化关系”,且“变化关系”满足方程:e-1/3 x+2y+(e10/3 - 1)∙e-1/3 x+y - ex^3+2x^2-2x =0.(1)确定出y关于x的单值、连续的函数关系式(解析式):y=f(x)=?及其函数f(x)的定义域{x}=?提示:求解函数方程以及求解其后问题时,令:e10/3-1=2a,可便于计算分析处理.(2)求出函数y=f(x)的一阶导数:dy/dx=f'(x)=?及其可导区域{x}=?(3)绘出函数y=f(x)的图像草图.提示:(i)首先寻找出函数f(x)的三个“零点”:xk=? [其中,f(xk )=0,(k=1,2,3)],以及一阶导数函数f'(x)的两个“零点”xl[其中,f' (xl' )=0,(l=1,2)](ii)然后,考察函数f(x)的渐近性质: f(x)|x→±∞→?(iii)最后,利用(i)和(ii)的结果,便可绘制出函数y=f(x)的图像草图.[注意:“零点”方程f(xk )=0最终可化为关于xk的三次方程,可采用(分组分解法)因式分解后再作求解]

已知三个关于自变量x的函数:y=f(x),z=g(x),t=h(x),其“函数关系”由如下“隐函数方程组”确定出: (1)确定出y,z,t关于x的单值、连续的函数关系式(解析式):y=f(x)=?,z=g(x)=?,t=h(x)=?及其各函数的定义域{x}=?提示:求解函数方程以及求解其后问题时,令e10/3 - 1=2a,可便于计算分析处理。(2)求出函数y=f(x)的一阶导数:dy/dx=f' (x)=?及其可导区域{x}=?(3)给出函数y=f(x)的图像草图.提示:①首先,寻找出函数f(x)的三个“零点”:xk=?[其中,f(xk )=0;(k=1,2,3)],以及一阶导数函数f'(x)的两个“零点”:xl'=?[其中,f' (xl' )=0;(l=1,2)].②然后,考察函数f(x)的渐近性质.③最后,利用①②的结果,便可绘制出函数f(x)的图像草图[注意:“零点”方程f(xk )=0最终可化为关于xk的三次方程,可采用(分组分解法)因式分解后再作求解].

已知二元函数z=z(x,y):z(x,y)=1/4[4(tgx+tgy)2 - 12tgx∙tgy - 3],试求:二元函数z=z(x,y)在正方形区域:D ̅:-π/4≤x≤π/4,-π/4≤y≤π/4 里的最大值zmax=?和最小值zmin=?,并指出二元函数z=z(x,y)在闭区域D ̅里何点处取得最大值zmax和最小值zmin?

设函数f(x)在开区间(a,b)内存在二阶导数f''(x),且在(a,b)内f''(x)>0,证明:对于任意两点x1,x2∈(a,b),恒有f((x1+x2)/2)≤(f(x1)+f(x2))/2.

当x=______时,函数y=x∙2x取得极小值.