证明题(2022年北京理工大学

证明:tanx/x > x/sinx,其中x∈(0,π/2).

答案解析

令f(x)=x2-tanxssinx,则f' (x)=2x-sec2⁡x sinx-sinx,f'' (x)=2-2 sec2⁡x tanxsinx-sec2⁡x cosx-cosx=2-2 tan2...

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讨论

设函数f(x)=secx在x=0处的2次泰勒多项式为1+ax+bx2,则【 】

已知f(x)=,求f(x)的凹凸性及渐近线.

去年,张师傅因为多旋圈面爆红,今年他来到了达摩院给扫地僧做面。某天,软件工程师小李跟张师傅吐槽工作。小李主要硏究和设计算法用于调节各种产品的参数。这样的参数一般可以通过极小化Rn上的某个损失函数f求得。在小李最近的一个项目中,这个损失函数是另外一个课题组提供的;出于安全考虑和技术原因,该课题组难以向小李给出此函数的内部细节,而只能提供一个接口用于计算任意x∈Rn处的函数值f(x)。所以,小李必须仅基于函数值来极小化f。而且,每次计算f的值都消耗不小的计算资源。好在该问题的维度n不是很高(10左右)。另外,提供函数的同事还告知小李不妨先假设f是光滑的。这个问题让张师傅想起了自己收藏的一台古董收音机。要在这台收音机上收听一个节目,你需要小心地来回拧一个调频旋钮,同时注意收音效果,直到达到最佳。在这过程中,没有人确切地知道旋钮的角度和收音效果之间的定量关系是什么。张师傅和小李意识到,极小化f不过就是调节一台有多个旋钮的机器:想象x的每一个分量由一个旋钮控制,而f(x)表示这台机器的某种性能,只要我们来回调整每个旋钮,同时监视f的值,应该就有希望找到最佳的x。受此启发,两人一起提出了极小化f的一个迭代算法,并命名为“自动前后调整算法”( Automated Forward/Backward Tuning,AFBT,算法1)。在第k次迭代中,AFBT通过前后调整xk的单个分量得2n个点{xk±tk ei:i=1,…,n},其中tk为步长;然后,令yk为这些点中函数值最小的一个,并检査yk是否使f充分减小;若是,取xk+1=yk,并将步长增倍;否则,令xk+1=xk并将步长减半。在算法1中,ei表示Rn中的第i个坐标向量,它的第i个分量为1,其余皆为0; I(∙) 为指示函数——若f(xk )-f(yk)至少为tk之平方,则I[f(xk )-f(yk )≥tk2]取值为1,否则为0。1自动前后调整算法(AFBT)输入x0∈Rn,t0>0。对k=0,1,2,…,执行以下循环。1:yk≔argmin{f(y):y=xk±tk ei,i=1,…,n} #计算损失函数。2:sk≔I[f(xk )-f(yk )≥tk2] #是否充分下降?是:sk=1;否:sk=0。3:xk+1≔(1-sk ) xk+sk yk #更新迭代点。4:tk+1≔2(2sk-1 ) tk #更新步长。sk=1:步长增倍;sk=0:步长减半。现在,我们对损失函数f:Rn→R作出如下假设。假设1. f为凸函数,即对任何x,y∈Rn与α∈[0,1]都有f((1-α)x+αy)≤(1-α)f(x)+αf(y).假设2. f在Rn上可微且∇f在Rn上 L-Lipschitz连续。假设3. f的水平集有界,即对任意λ∈R,集合{x∈Rn:f(x)≤λ}皆有界。基于假设1与假设2,可以证明〈∇f(x),y-x〉≤f(y)-f(x)≤〈∇f(x),y-x〉+L/2 ‖x-y‖2对任何x,y∈Rn成立;假设1与假设3则保证f在Rn上取到有限的最小值f*。凸函数的更多性质可参考任何一本凸分析教科书。证明题(20分) 在假设1-3下,对于AFBT,证明f(xk)=f*.

设x0,x1,…,xn为n+1个互异的插值节点,li (x)(i=0,1,…,n)为拉格朗日基本插值多项式(也称为插值基本函数)。证明:(1) li (x)≡1;(2) li (x)xik≡xk.

某厂家生产一种产品同时在两个市场上销售,价格分别为P1和P2,销量分别为q1和q2,需求满足下列关系:q1=24-0.2P1;q2=10-0.05P2.成本函数为:C=35+40(q1+q2)试问厂家如何确定两个市场的价格才能使获利最大?最大为多少?

某企业生产某种商品,年产x件时总成本为c(x)=c+dx,年需求量是价格p的线性函数为a-bp(其中a,b,c,d均为常数),试求:(1)利润最大时的产量及最大利润;(2)需求对价格的弹性。

设f(x)=nx(1-x)n(n为自然数),求(1) f(x)在[0,1]上的最大值M(n)={f(x)}.(2)求M(n).

两实变量x与y之间存在“变化关系”,且“变化关系”满足方程:e-1/3 x+2y+(e10/3 - 1)∙e-1/3 x+y - ex^3+2x^2-2x =0.(1)确定出y关于x的单值、连续的函数关系式(解析式):y=f(x)=?及其函数f(x)的定义域{x}=?提示:求解函数方程以及求解其后问题时,令:e10/3-1=2a,可便于计算分析处理.(2)求出函数y=f(x)的一阶导数:dy/dx=f'(x)=?及其可导区域{x}=?(3)绘出函数y=f(x)的图像草图.提示:(i)首先寻找出函数f(x)的三个“零点”:xk=? [其中,f(xk )=0,(k=1,2,3)],以及一阶导数函数f'(x)的两个“零点”xl[其中,f' (xl' )=0,(l=1,2)](ii)然后,考察函数f(x)的渐近性质: f(x)|x→±∞→?(iii)最后,利用(i)和(ii)的结果,便可绘制出函数y=f(x)的图像草图.[注意:“零点”方程f(xk )=0最终可化为关于xk的三次方程,可采用(分组分解法)因式分解后再作求解]

已知三个关于自变量x的函数:y=f(x),z=g(x),t=h(x),其“函数关系”由如下“隐函数方程组”确定出: (1)确定出y,z,t关于x的单值、连续的函数关系式(解析式):y=f(x)=?,z=g(x)=?,t=h(x)=?及其各函数的定义域{x}=?提示:求解函数方程以及求解其后问题时,令e10/3 - 1=2a,可便于计算分析处理。(2)求出函数y=f(x)的一阶导数:dy/dx=f' (x)=?及其可导区域{x}=?(3)给出函数y=f(x)的图像草图.提示:①首先,寻找出函数f(x)的三个“零点”:xk=?[其中,f(xk )=0;(k=1,2,3)],以及一阶导数函数f'(x)的两个“零点”:xl'=?[其中,f' (xl' )=0;(l=1,2)].②然后,考察函数f(x)的渐近性质.③最后,利用①②的结果,便可绘制出函数f(x)的图像草图[注意:“零点”方程f(xk )=0最终可化为关于xk的三次方程,可采用(分组分解法)因式分解后再作求解].

已知二元函数z=z(x,y):z(x,y)=1/4[4(tgx+tgy)2 - 12tgx∙tgy - 3],试求:二元函数z=z(x,y)在正方形区域:D ̅:-π/4≤x≤π/4,-π/4≤y≤π/4 里的最大值zmax=?和最小值zmin=?,并指出二元函数z=z(x,y)在闭区域D ̅里何点处取得最大值zmax和最小值zmin?