大学数学-考研试题(理工数学Ⅰ 1993年函数的单调性)

证明题（1993年理工数学Ⅰ）

设b>a>e，证明a^b>b^a.

答案解析

令f(x)=xlna-alnx (x≥a)因为f' (x)=lna-a/x>1-a/x≥0所以f(x)在x≥a时单调增加，因此当b>a时，有f(b)>f(a)，即有blna>alnb，也即ab>ba...

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讨论

大学数学

设在[0,+∞)上函数f(x)有连续导数，且f'(x)≥k>0,f(0)<0，证明：f(x)在(0,+∞)有且仅有一个零点.

求级数(-1)n(n2-n+1)/2n 的和.

计算∯Σ 2zxdydz+yzdzdx-z2 dxdy，其中Σ是由曲面z=与z=所围成的表面外侧.

求微分方程x2y'+xy=y2满足初始条件y|x=1=1的特解.

理工数学Ⅰ换元积分法

求(sin⁡(2/x)+cos(1/x))x

已知Q=，P为3阶非零矩阵，且满足PQ=0，则【】

设曲线积分∫L[f(x)-ex]sinydx-f(x)cosydy与路径无关，共中f(x)具有一阶连续导数，且f(0)=0，则f(x)等于【】

设直线l1:(x-1)/1=(y-5)/(-2)=(z+8)/1与l2:则l1与l2的夹角为【】

双纽线(x2+y2)2=x2-y2所围成的区域面积可用定积分表示为【】

函数的单调性

证明：若f(x)在(a,b)内可导，且导数f'(x)恒大于0，则f(x)在(a,b)内单调增加.

证明：当x>0时，有不等式arctanx+1/x>π/2.

试证：当x>0时，(x2-1)lnx≥(x-1)2.

设函数f(x)在[0,1]上f'' (x)>0，则f' (0),f' (1),f(1)-f(0)或f(0)-f(1)的大小顺序是【】

证明：tanx/x > x/sinx，其中x∈(0,π/2).

已知命题：若函数f(x)在区间[a,b]上可导，f'(a)>0，则存在c∈(a,b)，使得f(x)在区间[a,c)上单调增加，判断该命题是否成立.若判断成立，给出证明；若判断不成立，举一反例，证明命题不成立.

设，则(d2 y)/(dx2 )=__________.

由方程xyz+=√2所确定的函数z=z(x,y)在点(1,0,-1)处的全微分dz=____________.

设4阶方阵A=，则A的逆矩阵A-1=____________.

已知级数(-1)n an=2,a2n-1 =5，则an 等于【】

中值定理与导数的应用

设函数f(x)=sinx/(1+x2)在x=0处的3次泰勒多项式为ax+bx2+cx3，则【】

设函数f(x)在区间[0,1]上连续，则f(x)dx=【】

设函数f(x)=secx在x=0处的2次泰勒多项式为1+ax+bx2，则【】

去年，张师傅因为多旋圈面爆红，今年他来到了达摩院给扫地僧做面。某天，软件工程师小李跟张师傅吐槽工作。小李主要硏究和设计算法用于调节各种产品的参数。这样的参数一般可以通过极小化Rn上的某个损失函数f求得。在小李最近的一个项目中，这个损失函数是另外一个课题组提供的；出于安全考虑和技术原因，该课题组难以向小李给出此函数的内部细节，而只能提供一个接口用于计算任意x∈Rn处的函数值f(x)。所以，小李必须仅基于函数值来极小化f。而且，每次计算f的值都消耗不小的计算资源。好在该问题的维度n不是很高(10左右)。另外，提供函数的同事还告知小李不妨先假设f是光滑的。这个问题让张师傅想起了自己收藏的一台古董收音机。要在这台收音机上收听一个节目，你需要小心地来回拧一个调频旋钮，同时注意收音效果，直到达到最佳。在这过程中，没有人确切地知道旋钮的角度和收音效果之间的定量关系是什么。张师傅和小李意识到，极小化f不过就是调节一台有多个旋钮的机器：想象x的每一个分量由一个旋钮控制，而f(x)表示这台机器的某种性能，只要我们来回调整每个旋钮，同时监视f的值，应该就有希望找到最佳的x。受此启发，两人一起提出了极小化f的一个迭代算法，并命名为“自动前后调整算法”( Automated Forward/Backward Tuning，AFBT，算法1)。在第k次迭代中，AFBT通过前后调整xk的单个分量得2n个点{xk±tk ei:i=1,…,n}，其中tk为步长；然后，令yk为这些点中函数值最小的一个，并检査yk是否使f充分减小；若是，取xk+1=yk，并将步长增倍；否则，令xk+1=xk并将步长减半。在算法1中，ei表示Rn中的第i个坐标向量，它的第i个分量为1，其余皆为0； I(∙) 为指示函数——若f(xk )-f(yk)至少为tk之平方，则I[f(xk )-f(yk )≥tk2]取值为1，否则为0。1自动前后调整算法(AFBT)输入x0∈Rn,t0>0。对k=0,1,2,…，执行以下循环。1：yk≔argmin{f(y):y=xk±tk ei,i=1,…,n} #计算损失函数。2：sk≔I[f(xk )-f(yk )≥tk2] #是否充分下降？是：sk=1；否：sk=0。3：xk+1≔(1-sk ) xk+sk yk #更新迭代点。4：tk+1≔2(2sk-1 ) tk #更新步长。sk=1：步长增倍；sk=0：步长减半。现在，我们对损失函数f:Rn→R作出如下假设。假设1. f为凸函数，即对任何x,y∈Rn与α∈[0,1]都有f((1-α)x+αy)≤(1-α)f(x)+αf(y).假设2. f在Rn上可微且∇f在Rn上 L-Lipschitz连续。假设3. f的水平集有界，即对任意λ∈R，集合{x∈Rn:f(x)≤λ}皆有界。基于假设1与假设2，可以证明〈∇f(x),y-x〉≤f(y)-f(x)≤〈∇f(x),y-x〉+L/2 ‖x-y‖2对任何x,y∈Rn成立；假设1与假设3则保证f在Rn上取到有限的最小值f*。凸函数的更多性质可参考任何一本凸分析教科书。证明题(20分) 在假设1-3下，对于AFBT，证明f(xk)=f*.

设x0,x1,…,xn为n+1个互异的插值节点，li (x)(i=0,1,…,n)为拉格朗日基本插值多项式（也称为插值基本函数）。证明：(1) li (x)≡1;(2) li (x)xik≡xk.

某厂家生产一种产品同时在两个市场上销售，价格分别为P1和P2，销量分别为q1和q2，需求满足下列关系：q1=24-0.2P1；q2=10-0.05P2.成本函数为：C=35+40(q1+q2)试问厂家如何确定两个市场的价格才能使获利最大？最大为多少？

某企业生产某种商品，年产x件时总成本为c(x)=c+dx，年需求量是价格p的线性函数为a-bp（其中a,b,c,d均为常数），试求：(1)利润最大时的产量及最大利润；(2)需求对价格的弹性。

设f(x)=nx(1-x)n（n为自然数），求(1) f(x)在[0,1]上的最大值M(n)={f(x)}.(2)求M(n).

两实变量x与y之间存在“变化关系”，且“变化关系”满足方程：e-1/3 x+2y+(e10/3 - 1)∙e-1/3 x+y - ex^3+2x^2-2x =0.(1)确定出y关于x的单值、连续的函数关系式(解析式)：y=f(x)=?及其函数f(x)的定义域{x}=?提示：求解函数方程以及求解其后问题时，令：e10/3-1=2a，可便于计算分析处理.(2)求出函数y=f(x)的一阶导数：dy/dx=f'(x)=?及其可导区域{x}=?(3)绘出函数y=f(x)的图像草图.提示:(i)首先寻找出函数f(x)的三个“零点”：xk=? [其中，f(xk )=0,(k=1,2,3)],以及一阶导数函数f'(x)的两个“零点”xl[其中，f' (xl' )=0,(l=1,2)](ii)然后，考察函数f(x)的渐近性质： f(x)|x→±∞→?(iii)最后，利用(i)和(ii)的结果，便可绘制出函数y=f(x)的图像草图.[注意:“零点”方程f(xk )=0最终可化为关于xk的三次方程，可采用(分组分解法)因式分解后再作求解]