求微分方程x2y'+xy=y2满足初始条件y|x=1=1的特解.
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计算题（1993年理工数学Ⅰ）
答案解析
将方程化为y'=(y2-xy)/x2 =(y/x)2-y/x,令u=y/x，有y=xu,y'=u+xu'，代入方程并分离变量得du/(u(u-2))=dx/x，两边积分得1/2 ln(u-2)/u=...
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设曲线积分∫L[f(x)-ex]sinydx-f(x)cosydy与路径无关，共中f(x)具有一阶连续导数，且f(0)=0，则f(x)等于【 】
设直线l1:(x-1)/1=(y-5)/(-2)=(z+8)/1与l2:则l1与l2的夹角为【 】
双纽线(x2+y2)2=x2-y2所围成的区域面积可用定积分表示为【 】
设f(x)=sint2dt,g(x)=x3+x4，则当x→0时，f(x)是g(x)的【 】
设随机变量X服从(0,2)上的均匀分布，则随机变量Y=X2在(0,4)内的概率分布密度fY(y)=__________.
一批产品共有10个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽1个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为__________.
证明微分方程初值问题：的解在α<t<β上存在且惟一，其中a(t),b(t)均在区间α<t<β上连续，α<x_0<β,x_0为任意实数。
设y=φ(x)满足微分不等式dy/dx+a(x)y≤0 其中函数a(x)在x≥0上连续，证明：φ(x)≤φ(0) ,(x≥0).
差分方程△yt = t的通解为____________________.
证明方程dx/dt=Ax(A为n×n实矩阵)有以ω(ω≠0)为周期的周期解的充要条件是系数矩阵A至少有一个形如i 2πμ/ω的特征根，其中μ为整数。
若f(x):(0,π)→R连续，f(x)>0,f(π/2)=1，且对于任意的x∈(0,π)满足dt/(f2(t))=-cosx/(f(x))，求f(x)的表达式.
若微分方程y''+ay'+by=0的解在(-∞,+∞)上有界，则【 】
已知函数y=y(x)在任意点x处的增量Δy=yΔx/(1+x2)+α，且当Δx→0时，α是∆x(∆x→0)的高阶无穷小，y(0)=π，则y(1)等于【 】
计算曲面积分I=∬Σ(x3+az2)dydz+(y3+ax2)dzdx+(z3+ay2)dxdy，其中Σ为上半球面z=的上侧.
设3阶矩阵A的特征值为λ1=1,λ2=2,λ3=3，对应的特征向量依次为ξ1=,ξ2=,ξ3=，又向量β=.(1)将β用ξ1,ξ2,ξ3线性表出；(2)求An β(n为自然数).
设数量场u=ln，则div(gradu)=________________.
已知α1=,α2=,α3=，记β1=α1,β2=α2 - kβ1,β3=α3 - l1 β1 - l2 β2，若β1,β2,β3 两两正交，则l1,l2依次为【 】