大学数学-考研试题(高等数学三 2021年微分方程的概念)

填空题（2021年经济数学Ⅲ）

差分方程△y_t = t的通解为____________________.

答案解析

1/2·t² - 1/2t + c

讨论

大学数学

设D由y=sinπx(0≤x≤1)与x轴转成，则D绕x旋转的旋转体体积为__________.

若y=cos , = __________.

总体X的概率分布为P{X=1}=(1-θ)/2,P{X=1}=P{X=3}=(1+θ)/4，利用来自总体X的样本观察值1,3,2,2,1,3,1,2可得θ的最大似然估计值为【】

设A=(α1,α2,α3,α4)为4阶正交矩阵，若矩阵A = ,β = ,k表示任意常数，则线性方程组Ax=β的通解为x=【】

设矩阵A=仅有两个不同的特征值.若A相似于对角矩阵，求a,b的值，并求可逆矩阵P，使P-1AP为对角矩阵.

曲线(x2 + y2)2 = x2 - y2 (x≥0,y≥0)与x轴围成的区域为D，求xydxdy.

设函数y=y(x)的微分方程xy' - 6y = -6，满足y()=10,(1) 求y(x);(2) P为曲线y=y(x)上的一点，曲线y=y(x)在点P的法线在y轴上的截距为Iy，为使Iy最小，求P的坐标.

f(x)满足∫f(x)/dx = 1/6·x2 - x + C,L为曲线y=f(x)(4≤x≤9),L的弧长为s,L绕x轴旋转一周所形成的曲面的面积为A，求s和A.

已知f(x)=，求f(x)的凹凸性及渐近线.

微分方程

求微分方程y''+4y'+4y=eax的通解，其中a为实数.

设函数y=f(x)是微分方程2xy'-4y=2lnx-1满足条件y(1)=1/4的解，求曲线y=y(x)(1≤x≤e)的弧长.

若微分方程y''+ay'+by=0的解在(-∞,+∞)上有界，则【】

设f(x)具有二阶连续导数，f(0)=0,f'(0)=1，且[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f'(x)+x2y]dy=0为一阶全微分方程，求f(x)及此全微分方程的通解.

求微分方程xy'+(1-x)y=e2x (0<x<+∞)满足y(1)=0的解.

已知函数y=y(x)在任意点x处的增量Δy=yΔx/(1+x2)+α，且当Δx→0时，α是∆x(∆x→0)的高阶无穷小，y(0)=π，则y(1)等于【】

微分方程y'''-2y''+5y'=0的通解y(x)=__________.

欧拉方程x2y″ + xy' - 4y = 0满足条件y(1) = 1,y'(1) = 2得解为y = ______.

微分方程y'+ytanx=cosx的通解为y=________________.

求微分方程y'+1/x y=1/(x(x2+1))的通解（一般解）.

微分方程的概念

设物体A从点(0,1)出发，以速度大小为常数v沿y轴正向运动，物体B从点(-1,0)与A同时出发，其速度大小为2v，方向始终指向A，试建立物体B的运动轨迹所满足的微分方程，并写出初始条件.

在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的.设该人群的总人数为 N，在 t= 0 时刻已掌握新技术的人数为x0，在任意时刻t 已掌握新技术的人数为x(t)(将x(t)视为连续可微变量)，其变化率与已掌握新技术人收和未掌握新技术人数之积成正比，比例常数k>0,求x(t).

从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度y(从海平面算起)与下沉速度v之间的函数关系.设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为m，体积为B，海水比重为ρ，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为k(k>0).试建立y与v所满足的微分方程，并求出函数关系式 y= y(v).

若连续函数f(x)满足关系式f(x)=f(t/2)dt+ln2，则f(x)等于【】

求函数f(x,y) = 2ln⁡|x| + 的极值.

设有界区域D是圆x2 + y2 = 1和直线y=x以及x轴在第一象限围成的部分，计算二重积分(x2 - y2)dxdy.

设n为正整数，y=yn (x)是微分方程xy' - (n+1)y=0满足条件yn(1)=1/n(n+1)的解.(1) 求yn (x);(2) 求级数yn(x)的收敛域及和函数.

已知⁡[aarctan + ]存在，求a的值.

差分方程△yt = t的通解为____________________.

差分方程△yt = t的通解为____________________.