大学数学-考研试题(理工数学Ⅱ 2022年一阶线性微分方程)

问答题（2022年理工数学Ⅱ）

设函数y=f(x)是微分方程2xy'-4y=2lnx-1满足条件y(1)=1/4的解，求曲线y=y(x)(1≤x≤e)的弧长.

答案解析

由题意知y'-2/x y=(2lnx-1)/2x，则y(x)=e-∫(-2/x)dx [∫(2lnx-1)/2x e∫(-2/x) dxdx+C]=x2 [∫(2lnx-1)/(2x3)+C]=-1/2 lnx+Cx...

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讨论

定积分的几何应用

过点P(1,0)作抛物线y=的切线，该切线与抛物线及x轴围成一个平面图形.求此平面图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积.

设y=f(x)是区间[0,1]上的任一非负连续函数.(1)试证存在x0∈(0,1)，使得在区间[0,x0]上以f(x0)为高的矩形面积，等于在区间[x0,1]上以y=f(x)为曲边的梯形面积.(2)又设f(x)在区间(0,1)内可导，且f'(x)>-2f(x)/x，证明(1)中的x0是唯一的.

设函数f(x)在(-∞,+∞)上有二阶连续导数，证明：f'' (x)≥0的充要条件是：对任意不同的实数a,b,f((a+b)/2)≤1/(b-a)f(x)dx.

(1)证明初值问题与y(x)=y0+f[t,y(t)]dt等价；(2)若对上式中的积分用辛普生公式，试导出相应的计算格式；并针对初值问题给出计算格式。

从原点向抛物线y=x2+x+1引两条切线，求此二切线与抛物线围成的面积。

试求由曲线y=ex下方，经过坐标原点作y=ex的切线的左侧以及x轴上方构成的图形面积。

求由圆柱面x2+y2=a2,x2+z2=a2 (a>0)所围立体的体积.

(1)设y=φ(x)(x≥0)是严格增加的连续函数，φ(0)=0,x=ψ(y)是它的反函数，证明：φ(x) dx+ψ(y)dy≥ab,(a,b≥0)，并给出上述不等式的几何意义（要求图示）.(2)用上述不等式证明：ab≤ap/p+bq/q,a,b>0,p>1,1/p+1/q=1.

求由曲面(x2/a2 +y2/b2 +z2/c2 )2=x2/a2 +y2/b2 (a,b,c>0)所围成的空间区域的体积.

由曲线y=lnx与两条直线y=e+1-x及y=0所围成的平面图形的面积是______.

微分方程

设y=φ(x)满足微分不等式dy/dx+a(x)y≤0 其中函数a(x)在x≥0上连续，证明：φ(x)≤φ(0) ,(x≥0).

北京大学齐次微分方程

证明方程dx/dt=Ax(A为n×n实矩阵)有以ω(ω≠0)为周期的周期解的充要条件是系数矩阵A至少有一个形如i 2πμ/ω的特征根，其中μ为整数。

从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度y(从海平面算起)与下沉速度v之间的函数关系.设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为m，体积为B，海水比重为ρ，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为k(k>0).试建立y与v所满足的微分方程，并求出函数关系式 y= y(v).

y''-4y=e2x的通解为____________.

设函数y(x)(x≥0)二阶可导，且y' (x)>0,y(0)=1.过曲线y=y(x)上任意一点P(x,y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1，区间[0,x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2，并设2S1-S2恒为1，求此曲线y=y(x)的方程.

求微分方程y'''+6y''+(9+a2) y'=1的通解，其中常数a>0.

设函数y=y(x)满足微分方程y''-3y'+2y=2ex，其图形在点(0,1)处的切线与曲线y=x2-x+1在该点处的切线重合，求函数y=y(x).

设f(x)=sinx-(x-t)f(t)dt，其中f为连续函数，求f(x).

求微分方程y''+4y'+4y=e-2x的通解（一般解）.

一阶线性微分方程

微分方程y'+ytanx=cosx的通解为y=________________.

设f(x)具有二阶连续导数，f(0)=0,f'(0)=1，且[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f'(x)+x2y]dy=0为一阶全微分方程，求f(x)及此全微分方程的通解.

设曲线l位于xOy平面的第一象限内，l上任一点M处的切线与y轴总相交，交点记为A.已知||=||，且l过点(3/2,3/2)，求l的方程.

设函数y=y(x)的微分方程xy' - 6y = -6，满足y()=10,(1) 求y(x);(2) P为曲线y=y(x)上的一点，曲线y=y(x)在点P的法线在y轴上的截距为Iy，为使Iy最小，求P的坐标.

求微分方程xy'+(1-x)y=e2x (0<x<+∞)满足y(1)=0的解.

求微分方程xlnxdy+(y-lnx)dx=0满足条件y|x=e=1的特解.

求微分方程x dy/dx=x-y满足条件 y|x=√2 =0的解.

求微分方程y'+1/x y=1/(x(x2+1))的通解（一般解）.

设函数y=y(x)的微分方程xy' - 6y = -6，满足y()=10,(1) 求y(x);(2) P为曲线y=y(x)上的一点，曲线y=y(x)在点P的法线在y轴上的截距为Iy，为使Iy最小，求P的坐标.

微分方程y''-y=ex+1的一个特解应具有形式（式中a,b为常数）【】