大学数学-考博试题(东北财经大学 2003年定积分的几何应用)

计算题（2003年东北财经大学）

试求由曲线y=e^x下方，经过坐标原点作y=e^x的切线的左侧以及x轴上方构成的图形面积。

答案解析

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讨论

大学数学

已知z=arctan (x+y)/(x-y)，求dz.

计算(1+xex)1/x

若事件A、B独立，则A、B至少有一个发生的概率表示为【】

A为4阶方阵，且|A|=-2，则||A|A|=【】

∫e(x)dx=F(x)+c，则∫e-xf(e-x)dx= 【】

x∙cos(1/x)= 【】

若随机变量X服从参数λ=1的指数分布，则P(-2<x<2)=__________。

A为4阶方阵，其特征值为-1,1,2,3，A*为A的伴随矩阵，则|A*|=__________。

方阵A=，而n≥2为整数，则A2-2An-1=__________。

dx=__________。

定积分的应用

为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底抓起污泥后提出井口(见图). 已知井深30m,抓斗自重 400N，缆绳每米重50N,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度为3m/s,在提升过程中，污泥以20N/s 的速率从抓斗缝隙中漏掉，现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需做多少焦耳的功?(说明:①1Nx1m=1J;其中m,N,s,J分别表示米,牛顿,秒,焦耳.②抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计.)

点A位于半径为a的圆周内部，且离圆心的距离为b(0≤b<a)，从点A向圆周上所有点的切线作垂线，求所有垂足所围成的图形的面积.

(1)证明初值问题与y(x)=y0+f[t,y(t)]dt等价；(2)若对上式中的积分用辛普生公式，试导出相应的计算格式；并针对初值问题给出计算格式。

从原点向抛物线y=x2+x+1引两条切线，求此二切线与抛物线围成的面积。

由曲线y=sin3/2⁡x (0≤x≤π)与x轴围成的平面绕x轴旋转而的旋转体的体积为【】

曲线y=cosx(-π/2≤x≤π/2)与x轴所围成的图形，绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积为【】

设抛物线y=ax2+bx+c过原点，当0≤x≤1时，y≥0.又已知抛物线与x轴及直线x=1所围成图形的面积为1/3，试确定a,b,c，使此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积V最小.

过点P(1,0)作抛物线y=的切线，该切线与抛物线及x轴围成一个平面图形.求此平面图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积.

设y=f(x)是区间[0,1]上的任一非负连续函数.(1)试证存在x0∈(0,1)，使得在区间[0,x0]上以f(x0)为高的矩形面积，等于在区间[x0,1]上以y=f(x)为曲边的梯形面积.(2)又设f(x)在区间(0,1)内可导，且f'(x)>-2f(x)/x，证明(1)中的x0是唯一的.

设函数f(x)在(-∞,+∞)上有二阶连续导数，证明：f'' (x)≥0的充要条件是：对任意不同的实数a,b,f((a+b)/2)≤1/(b-a)f(x)dx.

定积分的几何应用

求曲线L:y=1/3 x3+2x(0≤x≤1)绕直线y=4/3 x旋转一周生成的旋转曲面的面积.

双纽线(x2+y2)2=x2-y2所围成的区域面积可用定积分表示为【】

求心形线r=a(1+cosθ)的全长，其中a>0是常数.

求n-1/2 的整数部分.

曲线y=dt的弧长为__________.

已知平面区域D={(x,y)|0≤y≤1/(x),x≥1}.(1)求D的面积；(2)求D绕x轴旋转所成旋转体的体积.

设f(x)=t|t|dt.求曲线y=f(x)与x轴所围成封闭图形的面积.

求过曲线y=-x2+1上的一点，使过该点的切线与这条曲线及x,y轴在第一象限围成图形的面积最小，最小面积是多少？

求由曲线y=1+sinx与直线y=0,x=0,x=π围成的曲边梯形绕x轴旋转而成的旋转体体积V.

求由曲面(x2/a2 +y2/b2 +z2/c2 )2=x2/a2 +y2/b2 (a,b,c>0)所围成的空间区域的体积.