大学数学-竞赛试题(莫斯科电气学院 1977年定积分的几何应用)

问答题（1977年莫斯科电气学院）

点A位于半径为a的圆周内部，且离圆心的距离为b(0≤b<a)，从点A向圆周上所有点的切线作垂线，求所有垂足所围成的图形的面积.

答案解析

设圆周方程为x2+y2=a2，点A位于(b,0)，在圆周上任取点P(x0,y0)，过点P作圆的切线L，则L的方程为x0 x+y0 y=a2，这里(x,y)为L上点的流动坐标.过点A作L的垂线AQ，则AQ的参数方程为x=b+x0 t,y=y0 t将其代入L的方程，解得垂足Q所对应的参数为：t=1-b/a2 x0，于是垂足Q的坐标(x,y)为x=b+x0 (1-b/a2 x0 ),y=y0 (1-b/a2 x0 )令x0=acost,y0=asint，代入上式得垂足Q的坐标(x,y)为x=b+(1-b/a co...

查看完整答案

讨论

大学数学

求n-1/2 的整数部分.

南京大学定积分的概念与性质

设函数f(x)=x-[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数，求极限1/xf(x)dx.

求∫(1+x)/(x(1+xex)) dx.

求证不等式：(eb - ea)/(b-a)<(eb + ea)/2 (a≠b).

已知命题：若函数f(x)在区间[a,b]上可导，f'(a)>0，则存在c∈(a,b)，使得f(x)在区间[a,c)上单调增加，判断该命题是否成立.若判断成立，给出证明；若判断不成立，举一反例，证明命题不成立.

设实线性空间R2×2上的双线性函数ρ(X,Y)=tr(XT SY)，其中S∈R2×2.(1)求所有S，使得ρ是R2×2上的内积;(2)求所有S，使得A(X)=XT是内积空间(R2×2,ρ)上的正交变换.

设α1,…,αn和β1,…,βn是线性空间V的两组基，V上的线性变换A把每个αi映成βi,i=1,…,n.证明：A在α1,…,αn下的矩阵和在β1,…,βn下的矩阵相等.

设复系数多项式f(x)在x=1处的导数f'(1)≠0.证明：存在n阶复方阵A使得f(A)=f(1)J，其中J=是n阶Jordan块.

设A,B都是n阶复方阵，C=A+B，则det(C-AB)=det(C-BA).

定积分的应用

为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底抓起污泥后提出井口(见图). 已知井深30m,抓斗自重 400N，缆绳每米重50N,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度为3m/s,在提升过程中，污泥以20N/s 的速率从抓斗缝隙中漏掉，现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需做多少焦耳的功?(说明:①1Nx1m=1J;其中m,N,s,J分别表示米,牛顿,秒,焦耳.②抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计.)

设y=f(x)是区间[0,1]上的任一非负连续函数.(1)试证存在x0∈(0,1)，使得在区间[0,x0]上以f(x0)为高的矩形面积，等于在区间[x0,1]上以y=f(x)为曲边的梯形面积.(2)又设f(x)在区间(0,1)内可导，且f'(x)>-2f(x)/x，证明(1)中的x0是唯一的.

设函数f(x)在(-∞,+∞)上有二阶连续导数，证明：f'' (x)≥0的充要条件是：对任意不同的实数a,b,f((a+b)/2)≤1/(b-a)f(x)dx.

(1)证明初值问题与y(x)=y0+f[t,y(t)]dt等价；(2)若对上式中的积分用辛普生公式，试导出相应的计算格式；并针对初值问题给出计算格式。

从原点向抛物线y=x2+x+1引两条切线，求此二切线与抛物线围成的面积。

试求由曲线y=ex下方，经过坐标原点作y=ex的切线的左侧以及x轴上方构成的图形面积。

设实变量的复值函数u(x,t)满足Cauchy初值问题iut+uxx=0,-∞<x<+∞,t>0，其中i=√(-1)，u(x,0)=f(x)为已知函数且满足|f(x)|2 dx=1.(1)求证对任意的t>0，有|u(x,t)|2 dx≡1.(2)求证此问题在L2空间中的解是唯一的.(3)求谐波解u=aei(kx-ωt)(其中，a,k,ω均与自变量x,t无关且k为实数)的色散关系，讨论谐波是否耗散，是否色散，求出谐波的相速度和群速度（以k表达）.(4)用Fourier变换法求出解的积分表达式.

求由圆柱面x2+y2=a2,x2+z2=a2 (a>0)所围立体的体积.

(1)设y=φ(x)(x≥0)是严格增加的连续函数，φ(0)=0,x=ψ(y)是它的反函数，证明：φ(x) dx+ψ(y)dy≥ab,(a,b≥0)，并给出上述不等式的几何意义（要求图示）.(2)用上述不等式证明：ab≤ap/p+bq/q,a,b>0,p>1,1/p+1/q=1.

求由曲面(x2/a2 +y2/b2 +z2/c2 )2=x2/a2 +y2/b2 (a,b,c>0)所围成的空间区域的体积.

定积分的几何应用

由曲线y=lnx与两条直线y=e+1-x及y=0所围成的平面图形的面积是______.

求由曲线y=1+sinx与直线y=0,x=0,x=π围成的曲边梯形绕x轴旋转而成的旋转体体积V.

求过曲线y=-x2+1上的一点，使过该点的切线与这条曲线及x,y轴在第一象限围成图形的面积最小，最小面积是多少？

由曲线y=sin3/2⁡x (0≤x≤π)与x轴围成的平面绕x轴旋转而的旋转体的体积为【】

双纽线(x2+y2)2=x2-y2所围成的区域面积可用定积分表示为【】

曲线y=cosx(-π/2≤x≤π/2)与x轴所围成的图形，绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积为【】

求心形线r=a(1+cosθ)的全长，其中a>0是常数.

设抛物线y=ax2+bx+c过原点，当0≤x≤1时，y≥0.又已知抛物线与x轴及直线x=1所围成图形的面积为1/3，试确定a,b,c，使此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积V最小.

过点P(1,0)作抛物线y=的切线，该切线与抛物线及x轴围成一个平面图形.求此平面图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积.

已知平面区域D={(x,y)|0≤y≤1/(x),x≥1}.(1)求D的面积；(2)求D绕x轴旋转所成旋转体的体积.