大学数学-竞赛试题(上海市 1991年函数极限存在准则)

计算题（1991年上海市）

设函数f(x)=x-[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数，求极限 lim x->+∞ 1/xf(x)dx.

答案解析

根据题意可知f(x)是周期为1的周期函数，且f(x)≥0.当0≤x<1时，f(x)=x.设n≤x<n+1，则x→+∞时n→∞，且n/(2(n+1))=n/(n+1) x dx=1/(n+1...

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讨论

变限积分

函数F(x)=(2-1/√t) dt(x>0)的单调减少区间为__________.

设f(x)=sint2dt,g(x)=x3+x4，则当x→0时，f(x)是g(x)的【】

设，求dy/dx,(d2y)/(dx2)在t=的值.

设f(x)=lnt/(1+t) dt，其中x>0，求f(x)+f(1/x).

设f(x)连续，则d/dx tf(x2-t2)dt等于【】

设x≥-1，求(1-|t|)dt.

d/dx sin⁡(x-t)2dt=________.

设函数f(x)=x-[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数，求极限1/xf(x)dx.

设函数f(x)=x-[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数，求极限1/xf(x)dx.

设函数f(x)=x-[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数，求极限1/xf(x)dx.

函数极限

函数f(x)=xsinx

当x→1时，函数(x2-1)/(x-1) e1/(x-1)的极限【】

设f(x)与g(x)在(-∞,+∞)上皆可导，且f(x)<g(x)，则必有【】

求(sin⁡(2/x)+cos(1/x))x

cotx(1/sinx-1/x)=________.

若=2，其中a2+c2≠0，则必有【】

(1+3x)2/sinx=__________.

求(2sinx+cosx)1/x

设[(x+2a)/(x-a)]x=8，则a=________.

已知⁡(x2/(x+1)-ax-b)=0，其中a,b是常数，则【】

函数极限存在准则

设函数f:R→R满足：(1) f(1)=1,(2) f'(x)=1/(x2+[f(x)]2),∀x≥1.证明：f(x)存在且小于1+π/4.

已知 fn(x)=求证：（1）对于任何自然数n，方程fn(x)=在区间(0,)中仅有一根；（2）设xn∈(0,)满足fn(xn)=，则.

理工数学Ⅰ函数极限存在准则

已知⁡[aarctan + ]存在，求a的值.

x∙cos(1/x)= 【】

已知函数f(x)在[a,b]上可积，且f(x)=A.对任意的h∈(0,1)，设非负函数g(x,h)满足：⁡g(x,h) dx=1，若对任意的c∈(a,b),g(x,h)在当h→0+关于 x∈[c,b]一致收敛于0，即对∀ε>0,∃δ>0，当0<h<δ时，对∀x∈[c,b]有|g(x,h)|<ε，证明：f(x)g(x,h)dx=A

确定常数a,b，使得极限(axcosx-bsinx)/x³ 存在，并求极限.

设函数f(x)=x-[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数，求极限1/xf(x)dx.

设函数f(x)=x-[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数，求极限1/xf(x)dx.

设函数f(x)=x-[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数，求极限1/xf(x)dx.