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计算题（1989年理工数学Ⅱ）

求(2sinx+cosx)1/x

答案解析

原式=(1+2sinx+cosx-1)1/(2sinx+cosx-1)∙(2sinx+cosx-1)/x) ,

又(2sinx+cosx-1)/x=2，所以原式=e2.

讨论

函数极限

已知 fn(x)=求证：（1）对于任何自然数n，方程fn(x)=在区间(0,)中仅有一根；（2）设xn∈(0,)满足fn(xn)=，则.

理工数学Ⅰ函数极限存在准则

已知⁡[aarctan + ]存在，求a的值.

当x→1时，函数(x2-1)/(x-1) e1/(x-1)的极限【 】

设a为非零常数，则((x+a)/(x-a))x =________.

设f(x)与g(x)在(-∞,+∞)上皆可导，且f(x)<g(x)，则必有【 】

若=2，其中a2+c2≠0，则必有【 】

当a=__________，b=__________时，有arctanx=-

莫斯科经济统计学院函数极限的性质

南京大学函数极限的性质

两个重要极限

证明：[x3]+x2=[x2]+x3存在一个非整数解，其中[x]表示不大于x的最大整数.

(e2x-1-ln⁡(2+x))/x=【 】

东北财经大学两个重要极限

求(cos√x)π/x

求⁡(ex-sinx-1)/(1-).

(1/√x)tanx =__________.

求(sin⁡(2/x)+cos(1/x))x

cotx(1/sinx-1/x)=________.

(1+3x)2/sinx=__________.

⁡xcot2x=__________.

函数与极限

设f(x)=x3-3x2-x+9，已知f的下列函数值x -1.3 -1.4 -1.5 -1.6 -1.7f(x) 3.033 1.776 0.375 -1.176 -2.883求方程f(x)=0在区间[-1.7,-1.3]上根的近似值（用牛顿反插值法）。

能否用迭代法求下列方程，如不能，将方程改写为能用迭代法求解的形式.x=4-αx.

若z=x+iy,f(z)=u(x,y)+iv(x,y)解析，且u-v=(x-y)(x2+4xy+y2)，求f(z).

重庆大学数列极限

设fn (x)在(a,b)上单调递增，且有实数列{Mn },n=1,2,3,…使得∀x∈(a,b),|fn (x)|≤Mn，若fn (x)在(a,b)上一致收敛于f(x)，证明：(1)存在M>0，使得∀x∈(a,b),|f(x)|≤M;(2)极限f(x)存在.

对∀p为正整数，|un+p - un |=0，则un 存在.

证明不等式1/< - <1/ n=1,2,…

设xn=1+1/√3+1/√5+⋯+1/ - ，证明xn 存在.

设0<a<1，求极限(a+2a2+3a3+⋯+nan).

设f(x)=,f[φ(x)]=1-x，且φ(x)≥0，求φ(x)及其定义域.