大学数学-考研试题(重庆大学 2003年数列极限)

证明题（2003年重庆大学）

证明不等式1/< - <1/ n=1,2,…

答案解析

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大学数学

计算第二型曲面积分x(x2+1)dydz+y(y2+2)dzdx+z(z2+3)dxdy其中Σ为球面x2+y2+z2=1的外侧.

设x(y),z(y)是由方程组所确定的隐函数，求x'(y),z'(y).

求由圆柱面x2+y2=a2,x2+z2=a2 (a>0)所围立体的体积.

求定积分sinθ/(sinθ+cosθ) dθ.

设函数g(x)在x=0的领域内有定义，g(0)=g'(0)=0,f(x)=，求f'(0).

求极限⁡( - ).

若f(x,y)的偏导数fx,fy在(x0,y0)存在，则f(x,y)在(x0,y0)连续.

设f(x)在[0,+∞)上非负连续，n是正整数，若f(x)dx存在，则f(x)dx收敛.

若|un+1 - un |收敛，则un存在.

若un>0,n=1,2,…且∀n,un+1/un <1则un 收敛.

数列极限

对有界数列{xn}，下面哪个说法可作为xn=L的定义【】（此题不全，待更新）

设f(x)=sin⁡(a1 x)+sin⁡(a2 x)+sin⁡(a3 x),a1,a2,a3>0.证明：存在数列{tn}使得tn=+∞且f(x+tn)=f(x)对∀x∈R一致成立.

已知an=(|sint|+|cost|)dt,bn=e-t sintdt，求anbn.

已知an=a≠0，试用ε-N语言证明：1/an =1/a.

证明数列{sinn}发散.

设数列{xn}满足1/xn+1 +lnxn<1，证明：xn存在，并求之.(已知：1/x+lnx≥1)

求极限(1+++⋯+)/n.

求极限nxnexdx.

求证：((cosx)ndx)1/n =1

设an=a,且a≠0，则当n充分大时，有【】.

函数与极限

设a≠，则ln= .

已知函数f(x)是周期为π的奇函数，且当x∈（0，π/2）时f(x)=sinx-cosx+2，则当x∈（π，π/2）时f(x)=____________________.

函数y=sinx|sinx|（其中|x|≤π/2）的反函数为____________________.

当x→0时，(-1)dt是x7的【】

设a1=1,an=sinan-1 (n≥2)，证明：an≥(n≥2).

设f(x)=x3-3x2-x+9，已知f的下列函数值x -1.3 -1.4 -1.5 -1.6 -1.7f(x) 3.033 1.776 0.375 -1.176 -2.883求方程f(x)=0在区间[-1.7,-1.3]上根的近似值（用牛顿反插值法）。

能否用迭代法求下列方程，如不能，将方程改写为能用迭代法求解的形式.x=4-αx.

若z=x+iy,f(z)=u(x,y)+iv(x,y)解析，且u-v=(x-y)(x2+4xy+y2)，求f(z).

已知φ(x)=|x-t|f(t)dt，若积分存在，且f(x)>0，证明：φ(x)为[a,b]上的凸函数.

当x→0时，用“o(x)”表示比x高阶的无穷小，则下列式子中错误的是【】