大学数学-考研试题(重庆大学 2003年常数项级数的概念与性质)

判断题（2003年重庆大学）

若|u_n+1 - u_n |收敛，则u_n存在.

答案解析

暂无答案

讨论

大学数学

若un>0,n=1,2,…且∀n,un+1/un <1则un 收敛.

若f(x,y)在区域D内对x和y都是连续的，则f(x,y)对(x,y)D为二元连续.

定义函数f(x)在[a,b]可积时，必须选假定f(x)在[a,b]上有界.

若f(x),g(x)在[a,b]上可导，∀x∈[a,b],f' (x)≤g'(x)，则∀x∈[a,b],f(x)≤g(x).

若f(x)在x0的领域内有定义，在x0可导，则f(x)在x0的某领域内连续.

设f(x)在(a,b)上一致连续，则f(x)在(a,b)上有界.

对∀p为正整数，|un+p - un |=0，则un 存在.

设fn (x)在(a,b)上单调递增，且有实数列{Mn },n=1,2,3,…使得∀x∈(a,b),|fn (x)|≤Mn，若fn (x)在(a,b)上一致收敛于f(x)，证明：(1)存在M>0，使得∀x∈(a,b),|f(x)|≤M;(2)极限f(x)存在.

已知f(x,y)在(x0,y0)的某邻域内，fx(x,y)连续，fy(x0,y0)存在，证明：f(x,y)在(x0,y0)可微.

如函数f(x)在[0,+∞)上一致连续，且无穷积分f(x)dx收敛，证明：f(x)=0.

常数项级数的概念与性质

求级数(n2+1)/n!的和.

求级数1/((n2-1)2n)的和.

解答如下问题：(1)设{an },{bn}为两个数列，且Bn=b1+b2+⋯+bn，证明：an bn=an Bn+Bk (ak-ak-1)(2)记⁡1/n kxk=A，证明：⁡1/n2 k2 xk=A/2.

函数(x+2)n/(2n(n+1))的定义域是【】

已知级数(-1)n an=2,a2n-1 =5，则an 等于【】

求不定积分∫(ln⁡(1+x2))/x3 dx

设f(x)=nx(1-x)n（n为自然数），求(1) f(x)在[0,1]上的最大值M(n)={f(x)}.(2)求M(n).

求级数xn/(ln⁡(n!))的收敛半径，并讨论收敛区间端点的收敛情况.

设F=yz(2x+y+z)i+xz(x+2y+z)j+xy(x+y+2z)k.求：F沿螺线r=acost∙i+asint∙j+bt∙k的一段（t:0→π/4）所作的功.

设f(x)在[0,1]上连续，f(x)dx=0,xf(x)dx=1，则存在x0∈[0,1]使|f(x0 )|>4.

无穷级数

设a1,a2,⋯,an是n个实数，都落在区间(-1,1)里.(1)证明 ∏1≤i,j≤n(1+aiaj)/(1-aiaj )≥1(2)找出以上不等式中等号成立的充分必要条件.

函数f(z)=1/(z-1)(z-2)在圆环区域：(1) 0<|z|<1；(2) 1<|z|<2；(3) 2<|z|<+∞；内是处处解析的。试把f(z)在这些区域内展成洛朗级数。

设正向数列{an}单调减少，且(-1)nan 发散，试问级数(1/(an+1))n 是否收敛？并说明理由.

证明：级数(2n-1)‼/(n!3n)收敛.

已知a1=2,an+1=1/2 (an+1/an )，证明：(1)数列{an }收敛；(2) (an/an+1 -1) 收敛.

讨论1/alnn (a>0)的敛散性.

已知f(x)=，将f(x)展开成正弦级数，并求该级数的和函数.

设f(x)为周期为2的周期函数，且f(x)=1-x,x∈[0,1]，若f(x)=a0/2+ancosnπx，则a2n =________.

设un(x) = e-nx + xn+1 (n=1,2,…)，求级数un(x)的收敛域和函数.

设n为正整数，y=yn (x)是微分方程xy' - (n+1)y=0满足条件yn(1)=1/n(n+1)的解.(1) 求yn (x);(2) 求级数yn(x)的收敛域及和函数.