大学数学-考博试题(电子科技大学 2004年春函数展开成幂级数)

问答题（2004年春电子科技大学）

函数f(z)=1/(z-1)(z-2)在圆环区域：

(1) 0<|z|<1；(2) 1<|z|<2；(3) 2<|z|<+∞；内是处处解析的。

试把f(z)在这些区域内展成洛朗级数。

答案解析

f(z)=1/(1-z)-1/(2-z) (1)由于|z|<1，从而|z/2|<1，所以1/(1-z)=1+z+z2+Λ+zn+Λ (a)1/(2-z)=1/2(1+z/2+Λ+zn/2n +Λ) (b)因此f(z)=1/2+3/4 z+7/8 z2+Λ(2) 1/(1-z)...

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讨论

大学数学

求将单位圆映射成单位圆且满足条件ω(1/2)=0,ω'(1/2)>0的分式线性映射.

计算：∮cdz/((z2+1)(z2+z+1))，其中c:为|z|<1.

电子科技大学数理方程

试将sin5θ,cos5θ用sinθ和cosθ表示.

(1)证明初值问题与y(x)=y0+f[t,y(t)]dt等价；(2)若对上式中的积分用辛普生公式，试导出相应的计算格式；并针对初值问题给出计算格式。

电子科技大学齐次线性方程组

对方程组，试问用Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代是否收敛？为什么？

设线性方程组Ax=b的系数矩阵A=。(1)试求能使Jacobi迭代法收敛的a的取值范围；(2)对该方程组写出Jacobi迭代格式（设b=(b1,b2,b3)T已知）。

数值求积f(x)dx时(1)试写出直接用梯形公式的计算式T1；(2)将[a,b]n等分，用Tn表示用复化梯形公式求得的积分值，试写出Tn的计算式；(3)若将步长分半（即步长二分），试给出T2n与Tn的递推关系；(4)若用精度控制|T2n - Tn |<ε，试写出“变步长梯形法”的算法框图.

设x0,x1,…,xn为n+1个互异的插值节点，li (x)(i=0,1,…,n)为拉格朗日基本插值多项式（也称为插值基本函数）。证明：(1) li (x)≡1;(2) li (x)xik≡xk.

函数展开成幂级数

将函数f(x)=1/4 ln⁡(1+x)/(1-x)+1/2 arctanx-x展开成x的幂级数.

将f(x)=x-1(0≤x≤2)展开成周期为4的余弦级数.

将函数f(x)=arctan⁡(1+x)/(1-x)展开为x的幂级数.

设a1,a2,⋯,an是n个实数，都落在区间(-1,1)里.(1)证明 ∏1≤i,j≤n(1+aiaj)/(1-aiaj )≥1(2)找出以上不等式中等号成立的充分必要条件.

设f(x)在含节点xi (i=0,…,n)的区间[a,b]上n+1次可微，Pn (x)是f(x)关于给定的n+1个节点的n次插值多项式，证明：对于任意x∈[a,b]，存在与x有关的ξ∈(a,b)，使得f(x)-Pn (x)=f(n+1) (ξ))/(n+1)!· (x-x0 )(x-x1 )…(x-xn).

求方程uxx+6uxy-7uyy=0的通解。

求边值问题的固有值和固有函数

若函数w=f(z)在某个区域D内是解析的，且f' (z)=0，试证f(z)是一个常量。

若函数w=f(z)在某个区域D内是解析的，且在D内是解析的，试证f(z)是一个常量。

若函数w=f(z)在某个区域D内是解析的，且|f(z)|在D内是一个常量，试证f(z)是一个常量。

无穷级数

求级数(n2+1)/n!的和.

设幂级数anxn 的收敛半径为3，则幂级数nan (x-1)n+1的收敛区间为________.

设a1=2,an+1=1/2(an+1/an )(n=1,2,…)，证明：(1) an 存在；(2)级数(an/an+1 -1)收敛.

设正向数列{an}单调减少，且(-1)nan 发散，试问级数(1/(an+1))n 是否收敛？并说明理由.

函数(x+2)n/(2n(n+1))的定义域是【】

证明：级数(2n-1)‼/(n!3n)收敛.

已知a1=2,an+1=1/2 (an+1/an )，证明：(1)数列{an }收敛；(2) (an/an+1 -1) 收敛.

讨论1/alnn (a>0)的敛散性.

试问：级数(1+1/2+⋯+1/n)/(n(n+2))是否收敛？若收敛，试求它的和.

已知f(x)=，将f(x)展开成正弦级数，并求该级数的和函数.