大学数学-考博试题(电子科技大学 2004年秋复变函数)

证明题（2004年秋电子科技大学）

若函数w=f(z)在某个区域D内是解析的，且|f(z)|在D内是一个常量，试证f(z)是一个常量。

答案解析

f(z)=u+iv,∂u/∂x=∂v/∂y,∂v/∂y=-∂v/∂x,|f(z)|==d,u2+v2=d2,2u ∂u/∂x+2v ∂v/∂x=0,2u ∂u/∂y+2v ∂v/∂y=0,u ∂u/∂x=-v ∂v/∂x=v ∂u/∂y,u ∂u/∂y=-v ∂v/∂y=-v ∂u/∂x.∴u ∂u/∂x=v ∂...

查看完整答案

讨论

大学数学

若函数w=f(z)在某个区域D内是解析的，且在D内是解析的，试证f(z)是一个常量。

若函数w=f(z)在某个区域D内是解析的，且f' (z)=0，试证f(z)是一个常量。

电子科技大学复变函数

电子科技大学复变函数

电子科技大学复变函数

电子科技大学数理方程

设hn (x)在[a,b)连续，且fn (x)≤hn (x)≤gn (x),∀x∈(a,b)，若级数fn (x),gn(x)在(a,b)上收敛，级数hn(a)发散，证明：(1)级数hn (x)在(a,b)上收敛；(2)级数hn (x)在(a,b)上非一致收敛；

证明含参广义积分F(a)=e-axsinxdx在(0,+∞)连续，但非一致收敛.

设函数f(x)在[0,+∞)连续、非负，且广义积分f(x)dx收敛，证明：xf(x)dx=0.

设函数f(x)在开区间[0,1]上可微，f(0)=0，且在[0,1]内0<f'(x)<1，证明：(1)对于任意x∈(0,1),f(t)dt>1/2 f2 (x);(2) (f(x)dx)2>f3(x)dx.

专业数学

给定偏微分方程：uxx+4uxy+3uyy=2.(1)判别方程的类型并求通解；(2)对该方程提定解条件：①u(x,x)=0,ux (x,x)=0或②u(0,y)=0,ux (0,y)=0问哪种定解条件下的定解问题是不适定的？为什么？(3)求出方程满足(2)中适定的定解条件的解。

利用积分变换方法求解定解问题，

利用积分变换方法求解定解问题，

利用Green函数法求定解问题，

试将sin5θ,cos5θ用sinθ和cosθ表示.

电子科技大学数理方程

求将单位圆映射成单位圆且满足条件ω(1/2)=0,ω'(1/2)>0的分式线性映射.

设有一根具有绝热的侧表面均匀的细杆，密度为ρ，横截面面积为A，其初始温度为φ(x)，两端满足下列边界条件之一：(1)一端（x=0）绝热，另一端（x=L）有热流密度q进入；(2)一端（x=0）温度为μ1(t)，另一端（x=L）与温度为θ(t)的介质有热交换。试分别写出上述两种热传导过程的定解问题。

求方程uxx+10uxy+9uyy=0的通解.

电子科技大学复变函数

复变函数

若函数w=f(z)在某个区域D内是解析的，且 Ref(z)在D内是一个常量，试证f(z)是一个常量。

计算积分I=∫c(ez dz)/(z2+1)2 ,其中积分路线c为椭圆：4x2+y2-2y-8=0正向一周。

试将函数f(z)=1/(1+z2 )在区域0<|z-i|<2中展开为罗朗级数。

试将函数f(z)=1/(1+z2 )在区域2<|z-i|<+∞中展开为罗朗级数。

试将函数f(z)=1/(1+z2 )在区域1<|z|<+∞中展开为罗朗级数。

电子科技大学齐次线性方程组

设X1,X2是齐次线性方程组Ax=0的基础解系，Y1,Y2是非齐次线性方程组Ax=b的两个解，证明X=k1 (X1+X2 )+k2 (X1-X2 )+(3Y1-2Y2 ),k1,k2∈R是Ax=b的通解。

设线性方程组Ax=b的系数矩阵A=。(1)试求能使Jacobi迭代法收敛的a的取值范围；(2)对该方程组写出Jacobi迭代格式（设b=(b1,b2,b3)T已知）。

对方程组，试问用Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代是否收敛？为什么？

设α1=(1,0,0,3),α2=(1,1,-1,2),α3=(1,2,a-3,1),α4=(1,2,-2,a),β=(0,1,b,-1)，问a,b为何值时(1) β能由α1,α2,α3,α4线性表示且表示唯一；(2) β不能由α1,α2,α3,α4线性表示；(3) β能由α1,α2,α3,α4线性表示但表示不唯一，并求一般表达式。