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考研2022年华中科技大学( )

解答如下 问题:

(1)设{an },{bn}为两个数列,且Bn=b1+b2+⋯+bn,证明:

an bn=an Bn+Bk (ak-ak-1)

(2)记20190216204018.png⁡1/n kxk=A,证明:20190216204018.png⁡1/n2 k2 xk=A/2.

(1)由已知,b1=B1,bk=Bk-Bk-1

an bn =a1 b1+a2 b2+⋯+an bn

=a1 B1+a2 (B2-B1 )+⋯+an (Bn-Bn-1)

=a1 B1+a2 B2-a2 B1+⋯+an Bn-an Bn-1

=B1 (a1-a2 )+B2 (a2-a3 )+⋯+Bn-1 (an-1-an )+an Bn

=an Bn+Bk (ak-a_(k+1))

(2)使用Stolz公式:

20190216204018.png(kxk )/n=20190216204018.png(kxk -kxk )/(n-(n-1))=20190216204018.png nxn=A

20190216204018.png(k2 xk )/n2 =20190216204018.pngk2 xk -k2 xk )/(n2-(n-1)2 )=20190216204018.png (n2 xn)/(2n-1)=20190216204018.png(nxn)/(2-1/n)=A/2

考研2022年华中科技大学( )

解答如下问题:

(1)证明:(-1)n n(n+1)/(n(n+1) x2+2n)关于x∈(-∞,+∞)一致收敛.

(2)计算(-1)n n(n+1)/(n(n+1) x2+2n ).

(1)∵ |(-1)n n(n+1)/(n(n+1) x2+2n )|≤n(n+1)/2n

=1/2<1

n(n+1)/2n 收敛.

魏尔斯特拉斯判别法(M-判别法)知(-1)n n(n+1)/(n(n+1) x2+2n )关于x∈(-∞,+∞)一致收敛.

(2) (-1)n n(n+1)/(n(n+1) x2+2n )=(-1/2)n n(n+1)

令S(x)=n(n+1) xn,x∈(-1,1)

S(x)=xn(n+1) xn-1=x(xn+1)''=x(xn+1 )''=x∙(x2/(1-x))''=2x/(1-x)3 

S(-1/2)=2∙(-1/2)/(1+1/2)3 =-8/27

考研2022年华中科技大学( )

已知f(x)=,将f(x)展开成正弦级数,并求该级数的和函数.

先求f(x)的傅里叶系数,f(x)~bn sinnx.

bn=2/π f(x)∙sinnx dx=2/π [(π-1)/2 x∙sinnx dx+(π-x)/2∙sinnx dx]

=2/π [(π-1)/2 x∙sinnx dx+π/2 sinnx dx-1/2 xsinnx dx]

=sinn/n2 

由收敛定理,f(x)=sinn/n2 ∙sinnx,x∈[0,π].

考研2022年武汉大学( )

已知{un(x)}是可微函数列,且un(x)在[a,b]上一致有界,证明:若un(x)收敛,则un(x)必定一致收敛.

由已知,|un' (x)|≤M,将[a,b]等分,分点为x0,x1,⋯,xm,对∀ε>0,令m充分大,使|xi-xi-1 |<ε/2M,(i=1,2,⋯,m).

由于un (x)在[a,b]上收敛,故un (xi)收敛,i=1,2,⋯,m.

由柯西准则知,对上述ε>0,∃N>0,当n>N时,对∀P∈N+,xi (i=0,1,⋯,m),有|uk (xi )|<ε/2.

对∀x∈[a,b],∃j使x∈[xj-1,xj],从而

|uk (x)|=|uk (xi )+[uk (x)-uk (xi )]|

≤|uk (xi )|+|uk' (ξ)(x-xi )|

<ε/2+|uk' (ξ)|  ε/2M≤ε/2+M∙ε/2M=ε

所以,由柯西准则知,un (x)一致收敛.

考研2022年武汉大学( )

已知含参变量积分F(x)=sin⁡(xy)/(ln⁡(lny)) dy,证明:

(1) F(x)在[δ,+∞)上关于x一致收敛(δ>0)

(2) F(x)在(0,+∞)上关于x不一致收敛.

(1)对任意实数N>e3,|sin⁡(xy)  dy|=| -cos⁡(xy)/x |=|(cos⁡(xe3)-cos⁡(xN))/x|≤2/x≤2/δ

而1/(ln⁡(lny))关于 y单调递减且1/(ln⁡(lny))=0,对任意x∈[δ,+∞),1/(ln⁡(lny))⇉0

所以,由狄利克雷判别法知,F(x)在[δ,+∞)上关于x一致收敛.

(2)使用柯西准则证明F(x)在(0,+∞)上关于x不一致收敛.

取ε_0=1/π>0,对∀M>e3,∃n∈N+,使得1/2 nπ>M.

取x'=1/n,有|sin⁡(x'y)/ln⁡(lny)  dy|≥|sin⁡(x'y)/y dy|≥1/nπ |sin y/ndy|

=1/nπ | -ncos y/n|=1/π=ε0.

所以,F(x)在(0,+∞)上关于x不一致收敛.