大学数学-竞赛试题(南京大学 1995年函数极限的性质)

计算题（1995年南京大学）

求.

答案解析

由于，当x>0时

由左边不等式推知，由右边不等推知，所以

当x<0时

由左边不等式推知，由右边不等式推知，所以

因而 .

讨论

函数极限的性质

设f(x)/lnx=1，则【】

((1+ex)/2)cotx=__________.

当a=__________，b=__________时，有arctanx=-

莫斯科经济统计学院函数极限的性质

已知函数f(x)为(A,B)上的连续函数，且有[a,b]⊂(a,b)，证明：1/h [f(x+h)-f(x)]dx=f(b)-f(a)

设f(x)与g(x)在(-∞,+∞)上皆可导，且f(x)<g(x)，则必有【】

若=2，其中a2+c2≠0，则必有【】

已知⁡(x2/(x+1)-ax-b)=0，其中a,b是常数，则【】

⁡(3sinx+x2cos⁡(1/x))/((1+cosx)ln⁡(1+x))=________.

函数f(x)=xsinx

函数极限

设函数f:R→R满足：(1) f(1)=1,(2) f'(x)=1/(x2+[f(x)]2),∀x≥1.证明：f(x)存在且小于1+π/4.

设函数f(x)=x-[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数，求极限1/xf(x)dx.

已知函数f(x)在[a,b]上可积，且f(x)=A.对任意的h∈(0,1)，设非负函数g(x,h)满足：⁡g(x,h) dx=1，若对任意的c∈(a,b),g(x,h)在当h→0+关于 x∈[c,b]一致收敛于0，即对∀ε>0,∃δ>0，当0<h<δ时，对∀x∈[c,b]有|g(x,h)|<ε，证明：f(x)g(x,h)dx=A

确定常数a,b，使得极限(axcosx-bsinx)/x³ 存在，并求极限.

(+-2)/x2=__________.

(1/x2 -1/xtanx)=______.

求极限sin4x/(-1)

(xk-1)/(xλx-1)，其中k是正整数，λ≠0是常数.

计算(2-x-2cosx)/(xex-ln⁡(1+x))

求极限(x-xx)/(1-x+lnx)

函数与极限

已知φ(x)=|x-t|f(t)dt，若积分存在，且f(x)>0，证明：φ(x)为[a,b]上的凸函数.

当x→0时，函数f(x)=ax+bx2+ln⁡(1+x)与g(x)=ex^2 -cosx是等价无穷小，则ab=______.

已知函数f(x)在[a,+∞)上连续，且f(x)存在，证明：(1)函数f(x)有界；(2)存在ξ∈[a,+∞)，使得f(ξ)为f(x)在[a,+∞)上的最大值或最小值.

证明：f(x)=tx-1 e-t lntdt 在(0,+∞)上连续.

讨论f(x)=sinx2在(-∞,+∞)上的一致连续性.

已知{xn },{yn}满足x1=yn=1/2,xn+1=sinxn,yn+1=yn2 (n=1,2,⋯) ，则当n→∞时【】

当x→0时，用“o(x)”表示比x高阶的无穷小，则下列式子中错误的是【】

考研无穷小与无穷大

设a≠，则ln= .

已知函数f(x)是周期为π的奇函数，且当x∈（0，π/2）时f(x)=sinx-cosx+2，则当x∈（π，π/2）时f(x)=____________________.