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证明题（1992年北京市）

已知 fn(x)=

求证：（1）对于任何自然数n，方程fn(x)=在区间(0,)中仅有一根；

（2）设xn∈(0,)满足fn(xn)=，则.

答案解析

（1）已知fn(x)=1-(1-cosx)n∈C[0,]，且fn(0)=1，fn()=0，则由介值定理知，对于∈（0，1），存在xn∈（0，），使得fn(xn)=，又(x)=-n(1-cosx)n-1sinx<0，x∈（0，）因此fn(x)在（0...

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讨论

函数极限

吉林大学两个重要极限

考研两个重要极限

求f(x)=的表达式，并作函数f(x)图像。

当a=__________，b=__________时，有arctanx=-

莫斯科经济统计学院函数极限的性质

cotx(1/sinx-1/x)=________.

已知函数f(x)为(A,B)上的连续函数，且有[a,b]⊂(a,b)，证明：1/h [f(x+h)-f(x)]dx=f(b)-f(a)

⁡xcot2x=__________.

求极限(x-xx)/(1-x+lnx)

求极限(cos⁡(tanx)-cosx)/(x3sinx).

函数与极限

江苏省数列极限存在准则

莫斯科公路学院数列极限存在准则

莫斯科电子技术学院数列极限存在准则

莫斯科民族友谊大学数列极限存在准则

江苏省数列极限存在准则

(1+22√2+32∛3+⋯+n2)/n3

求极限( -√n)/

已知an=+∞，证明(a1+a2+⋯+an)/n=+∞，并举例说明反过来不成立.

已知an=(|sint|+|cost|)dt,bn=e-t sintdt，求anbn.

已知α>0，求极限.

函数极限存在准则

设函数f:R→R满足：(1) f(1)=1,(2) f'(x)=1/(x2+[f(x)]2),∀x≥1.证明：f(x)存在且小于1+π/4.

设函数f(x)=x-[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数，求极限1/xf(x)dx.

已知函数f(x)在[a,b]上可积，且f(x)=A.对任意的h∈(0,1)，设非负函数g(x,h)满足：⁡g(x,h) dx=1，若对任意的c∈(a,b),g(x,h)在当h→0+关于 x∈[c,b]一致收敛于0，即对∀ε>0,∃δ>0，当0<h<δ时，对∀x∈[c,b]有|g(x,h)|<ε，证明：f(x)g(x,h)dx=A

确定常数a,b，使得极限(axcosx-bsinx)/x³ 存在，并求极限.

当x→1时，函数(x2-1)/(x-1) e1/(x-1)的极限【 】

x∙cos(1/x)= 【】

已知⁡[aarctan + ]存在，求a的值.

理工数学Ⅰ函数极限存在准则

设函数f(x)在(-∞,+∞)内有定义，对任意x都有f(x+1)=2f(x)，且当0≤x≤1时f(x)=x(1-x2)，试判断在x=0处函数f(x)是否可导.

设f(x)=t|t|dt.求曲线y=f(x)与x轴所围成封闭图形的面积.