大学数学-竞赛试题(北京市 1994年导数概念)

问答题（1994年北京市）

设函数f(x)在(-∞,+∞)内有定义，对任意x都有f(x+1)=2f(x)，且当0≤x≤1时f(x)=x(1-x²)，试判断在x=0处函数f(x)是否可导.

答案解析

当-1≤x<0时有0≤x+1<1，故f(x)=f(x+1)= (x+1)(-2x-x2)f'-(0)===-1f'+(0)= ==1由于f'-(0)≠f'+(0)，故f(x)在x=0处...

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讨论

大学数学

函数y=sinx|sinx|（其中|x|≤π/2）的反函数为____________________.

已知函数f(x)是周期为π的奇函数，且当x∈（0，π/2）时f(x)=sinx-cosx+2，则当x∈（π，π/2）时f(x)=____________________.

设数列{xn}满足0<x1<π，xn+1=sinxn（n=1,2,...）.证明xn存在，并求该极限.

设函数f(x)在（-∞,+∞）内单调有界，{xn}为数列，下列命题正确的是【】

考研无穷小与无穷大

设a≠，则ln= .

考研两个重要极限

考研数列极限存在准则

设{an}，{bn}，{cn}均为非负数列，且an=0， bn=1，cn=∞，则必有【】

设an=a,且a≠0，则当n充分大时，有【】.

导数概念

函数f(x)=(x2-x-2)|x3-x|不可导点的个数是【】

设f(x)=其中g(x)是有界函数，则f(x)在x=0处【】

已知函数f(x)在x=1处可导且(f()-3f(1+sin2⁡x))/x2 =2，求f'(1).

设函数f:R→R可微且导数有界，则f【】

设f(x)可导，F(x)=f(x)(1+|sinx|)，则f(x)=0是F(x)在x=0处可导的【】

设f(x)在x=a的某个领域内有定义，则f(x)在x=a处可导的一个充分条件是【】

设f(x)在x=a处可导，则(f(a+x)-f(a-x))/x等于【】

设f(x)在[a,b]上单调，证明其变上限积分F(x)=f(t)dt在每一x∈(a,b)的单侧导数F+'(x),F_'(x)均存在.

已知f'(3)=2，则(f(3-h)-f(3))/2h=________.

若f(x)在x0的领域内有定义，在x0可导，则f(x)在x0的某领域内连续.

导数与微分

设y=etan⁡(1/x) ∙sin(1/x)，则y'=________________.

已知函数y=y(x)由方程x2+xy+y3=3确定，则y''(1)=__________.

如果y=(x+t)dt，则 dy/dx|x=0等于【】

设函数f:R→R在R/{x0}上有二阶导数，满足：当x∈(-∞,x0)时f' (x)<0<f''(x)，而当x∈(x0,+∞)时，f' (x)>0>f''(x)，证明：f在x0处不可微.

已知，求d2y/dx2.

已知y=arctanx.(1)证明：2xy'+(1+x2 )y''=0;(2)求y(n).

已知f(x)在0处n+k(k≥1)次可微，且f(n+i) (0)=0,f(n+k) (0)≠0,i=0,1,⋯,k-1f(x)=f(0)+f' (0)x+⋯+f(n-1)(0)/(n-1)! x(n-1)+f(n)(θx)/n! xn，求⁡θ.

已知，求 dy/dx|t=0,d2y/dx2|t=0.

已知f(x)在(-1,1)上有任意阶导数，f(0)=0，且对任意的正整数n都有f(n)(0)=0.设存在C≥0，使得对任意的正整数n和x∈(-1,1)，有|f(n)(x)|≤n!Cn.证明：f(x)在(-1,1)上恒为零.

说明理由并证明：在什么条件下，方程F(x1,x2,⋯,xn )=0都能在x0∈Rn附近唯一确定可微函数xj=xj (x1,⋯,xj-1,xj+1,⋯,xn).并在x0附近，求(∂x1)/(∂x2 )(x)∙(∂x2)/(∂x3 )(x)⋯(∂xn-1)/(∂xn )(x)∙(∂xn)/(∂x1 )(x).