大学数学-考研试题(理工数学Ⅱ 1990年复合函数求导法则)

填空题（1990年理工数学Ⅱ）

设y=e^tan⁡(1/x) ∙sin(1/x)，则y'=________________.

答案解析

-1/x² e^tan(1/x) (tan⁡(1/x) sec(1/x)+cos(1/x))

讨论

函数的求导法则

设函数g(x)在x=0的领域内有定义，g(0)=g'(0)=0,f(x)=，求f'(0).

y=x1/x，则dy/dx=__________。

已知y=arcsine-√x，求y'.

设y=ln⁡(1+ax)，其中a是非零常数，则y'=__________，y''=__________.

设f(t)=⁡t(1+1/x)2x，则f' (t)=________________.

已知y=1+xexy，求 y'|x=0及y''|x=0.

设f(x)=x(x+1)(x+2)∙⋯∙(x+n)，则f'(0)=____________.

设f(t)=t(1+1/x)2tx ，则f' (t)=__________.

微分方程y''-y=ex+1的一个特解应具有形式（式中a,b为常数）【】

已知y=arcsine-√x，求y'.

导数与微分

已知z=arctan (x+y)/(x-y)，求dz.

已知函数y=f(x)在x=2处连续，且=2求证f(x)在x=2处可导，并求f'(x)=2.

函数，在 x=0处【】

若y=cos , = __________.

一卡车沙子通过传送带卸货，假设沙子落到地上堆成一个正圆锥体，且圆锥体的底面半径始终等于圆锥体的高，如果传送带以每分钟3立方米匀速卸沙，问当圆锥达到3米高时，卸了多少时间，此时圆锥高h的增长速度为多少？

设f(x)为可导函数且满足(f(1)-f(1+x))/2x=1，则y=f(x)在(1,f(1))处的斜率为【】

若f(x)在x0的领域内有定义，在x0可导，则f(x)在x0的某领域内连续.

若f(x),g(x)在[a,b]上可导，∀x∈[a,b],f' (x)≤g'(x)，则∀x∈[a,b],f(x)≤g(x).

设f(x)在[a,b]上单调，证明其变上限积分F(x)=f(t)dt在每一x∈(a,b)的单侧导数F+'(x),F_'(x)均存在.

已知f'(3)=2，则(f(3-h)-f(3))/2h=________.

复合函数求导法则

求微分方程xy'+(1-x)y=e2x (0<x<+∞)满足y(1)=0的解.

设3阶矩阵A=(α1,α2,α3)，B=(β1,β2,β3)，若向量组α1,α2,α3可以由向量组β1,β2线性表出，则【】

已知矩阵A=，若下三角可逆矩阵P和上三角可逆矩阵Q使PAQ为对角矩阵，则P,Q可以分别取【】

微分方程y''' - y = 0的通解y=_____________________.

多项式f(x)=中x3项的系数为______.

设函数y=y(x)的微分方程xy' - 6y = -6，满足y()=10,(1) 求y(x);(2) P为曲线y=y(x)上的一点，曲线y=y(x)在点P的法线在y轴上的截距为Iy，为使Iy最小，求P的坐标.

设矩阵A=仅有两个不同的特征值.若A相似于对角矩阵，求a,b的值，并求可逆矩阵P，使P-1AP为对角矩阵.

∫f'(x)dx=__________.

设f(x)在x=a处可导，则(f(a+x)-f(a-x))/x等于【】

求∫dx/(a2sin2⁡x+b2cos2⁡x ).( a,b是不全为零的非负常数)