计算题(2017年江苏省)

已知函数y=f(x)在x=2处连续,且

lim x->2(f(x)-3x+2)/(x-2)=2

求证f(x)在x=2处可导,并求f'(x)=2.

答案解析

由y=f(x)在x=2处连续与已知极限得

lim x->2(f(x)-3x+2)=f(2)-4=0 ⇒ f(2)=4

因为

lim x->2=lim x->2(f(x)-4)/(x-2)

=lim x->2f(x)-3x+2+3(x-2)

=lim x->2(f(x)-3x+2)/(x-2)+3

=2+3=5.

所以f(x)在x=2处可导,且f'(x)=5.

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