已知y=arctanx.
(1)证明：2xy'+(1+x2 )y''=0;
(2)求y(n).
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问答题（2022年北京理工大学）
答案解析
(1)由y=arctanx，可得y'=1/(1+x2),y''=(-2x)/(1+x2)2,∴2xy'+(1+x2) y''=2x∙1/(1+x2)+(1+x2)∙(-2x)/(1+x2)2=0.(2...
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设y=ln(1+ax)，其中a是非零常数，则y'=__________，y''=__________.
设f(t)=t(1+1/x)2x，则f' (t)=________________.
设f(x)=x(x+1)(x+2)∙⋯∙(x+n)，则f'(0)=____________.
已知二元函数f(x,y)=.(1)求fx(0,y)；(2)证明：fxy(0,0)=-1.
已知函数f(x)在(0,1)上连续，且f(1)=3ex-1f(x)dx，证明：存在ξ∈(0,1)，使得f(ξ)+f'(ξ)=0.
已知函数f(x)在[a,+∞)上连续，且f(x)存在，证明：(1)函数f(x)有界；(2)存在ξ∈[a,+∞)，使得f(ξ)为f(x)在[a,+∞)上的最大值或最小值.
设函数f(x)在(-∞,+∞)内有定义，对任意x都有f(x+1)=2f(x)，且当0≤x≤1时f(x)=x(1-x2)，试判断在x=0处函数f(x)是否可导.
设f(x)可导，F(x)=f(x)(1+|sinx|)，欲使F(x)在x=0可导，则必有【 】
设当x=0时，f(sinx)= f2(sinx)，f'(x)≠0，则f(0)=__________.
已知函数y=f(x)在x=2处连续，且=2求证f(x)在x=2处可导，并求f'(x)=2.
证明：两条心脏线ρ=α(1+cosθ)与ρ=α(1+cosθ)在交点处的切线相互垂直.
有一圆柱体底面半径与高随时间变化的速率分别为2cm/s，-3cm/s，当底面半径为10cm，高为5cm时，圆柱体的体积与表面积随时间变化的速率分别为【 】
设函数z=z(x,y)由方程(x+1)z+ylnz-arctan(2xy)=1确定，则 = ______.
一卡车沙子通过传送带卸货，假设沙子落到地上堆成一个正圆锥体，且圆锥体的底面半径始终等于圆锥体的高，如果传送带以每分钟3立方米匀速卸沙，问当圆锥达到3米高时，卸了多少时间，此时圆锥高h的增长速度为多少？