大学数学-考研试题(北京理工大学 2022年格林公式)

计算题（2022年北京理工大学）

计算∫_Lxdy-ydx，其中L:x²+y²=1，取逆时针方向.

答案解析

由Green公式

原式=∬_D2dxdy=2∬_Ddxdy=2π,D={(x,y)|x²+y²≤1}.

讨论

大学数学

计算 ∬D(√x+y)dxdy，其中D={(x,y)|0≤x≤1,x≤y≤2x}.

已知，求d2y/dx2.

求极限( -√n)/

求极限sin4x/(-1)

求证：J=ln⁡(sinx)dx收敛且J=-π/2 ln2.

设u∈C2 (R3)且∆u(x)=((∂2 u)/(∂x12 )+(∂2 u)/(∂x22 )+(∂2 u)/(∂x32 ))(x)=λu(x),λ为正常数，已知存在C>0，使得|x|≥C时，u≡0，求证：u(x)≡0,∀x∈R3.

设f∈[0,2π]，证明：f(x)|sinnx|dx=2/πf(x)dx.

若函数f(x)在[0,1]上连续，f(0)=0,f(1)=1，则对任何自然数n≥1，存在ξ_n∈[0,1]，使得f(ξn+1/n)=f(ξn )+1/n.

求∫C1/(xdx+ydy)，其中C是从(1,0)到(0,2)的光滑曲线（不过原点）.

求∫Cx2ds，其中C为x2+y2+z2=a2 (a>0)与z=的交线.

格林公式

已知二元函数f(x,y)=.(1)求fx(0,y)；(2)证明：fxy(0,0)=-1.

已知幂级数(-1)nn(n+1) xn .(1)求幂级数的收敛半径、收敛区间以及和函数；(2)计算(-1)nn(n+1)/4n .

已知：z=x2 F(y/x2)，其中F(u)的一阶偏导数存在，证明：x ∂z/∂x+2y ∂z/∂y=2z.

证明：级数(2n-1)‼/(n!3n)收敛.

已知a1=2,an+1=1/2 (an+1/an )，证明：(1)数列{an }收敛；(2) (an/an+1 -1) 收敛.

已知函数f(x)在(0,1)上连续，且f(1)=3ex-1f(x)dx，证明：存在ξ∈(0,1)，使得f(ξ)+f'(ξ)=0.

证明：tanx/x > x/sinx，其中x∈(0,π/2).

已知函数f(x)在[a,+∞)上连续，且f(x)存在，证明：(1)函数f(x)有界；(2)存在ξ∈[a,+∞)，使得f(ξ)为f(x)在[a,+∞)上的最大值或最小值.

已知y=arctanx.(1)证明：2xy'+(1+x2 )y''=0;(2)求y(n).

已知z=f(u,v)，其中u=2x+y,v=x2，求∂z/∂x,∂z/∂y,∂2/∂x2,∂2z/∂x∂y.

曲线积分与曲面积分

求曲面积分I=∬S yzdzdx+2dxdy，其中S是球面x2+y2+z2=4外侧在z≥0的部分.

在过点O(0,0)和A(π,0)的曲线族y=asinx(a>0)中，求一条曲线L，使沿该曲线从O到A的积分∫L(1+y3) dx+(2x+y)dy的值最小.

在变力F=yzi+zxj+xyk的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面x2/a2 +y2/b2 +z2/c2 =1上第一卦限的点M(ξ,η,ζ)，问当ξ,η,ζ取何值时，力F所做的功W最大？并求出W的最大值.

设数量场u=ln，则div(gradu)=________________.

设曲线积分∫L[f(x)-ex]sinydx-f(x)cosydy与路径无关，共中f(x)具有一阶连续导数，且f(0)=0，则f(x)等于【】

设函数Q(x,y)在xOy平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分∫L2xydx+Q(x,y)dy与路径无关，并且对任意t恒有2xydx+Q(x,y)dy=2xydx+Q(x,y)dy，求Q(x,y).

计算曲线积分∮C(z-y)dx+(x-z)dy+(x-y)dz，其中C是曲线从z轴正向往z轴负向看，C的方向是顺时针的.

设L为椭圆x2/4+y2/3=1，其周长记为a，则∮L(2xy+3x2+4y2)ds=__________.

确定常数λ，使在右半平面x>0上的向量A(x,y)=2xy(x4+y2 )λ i-x2 (x4+y2 )λ j为某二元函数u(x,y)的梯度，并求u(x,y).

求I=∫L[exsiny-b(x+y)]dx+(excosy-ax)dy，其中a,b为常数，L为从点A(2a,0)沿曲线y=到点O(0,0)的弧.