证明题(2022年中国科学院

设f∈[0,2π],证明:f(x)|sinnx|dx=2/πf(x)dx.

答案解析

根据Riemann引理:若f(x)在[a,b]上可积;g(x)以T为周期,在[0,T]上可积,则f(x)g(nx) dx=1/T g(x)dx f(x)dx取[a,b]=[0,2π],g(x)=|si...

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讨论

设I1=x/2(1+cosx) dx,I2=ln⁡(1+x)/(1+cosx) dx,I3=2x/(1+sinx) dx,则【 】

积分sinx/(ex+e-x) dx等于【 】

设连续函数f(x)满足f(a+b-x)=f(x),∀x∈[a,b],则积分xf(x)dx等于【 】

南京大学定积分的概念与性质

当某公司推出一个新的社交软件时,公司的市场部门除了会关心该软件的活跃客的总人数随时间的变化,也会对客户群体的一些特征做具体的调研和分析。我们用n(t,x)表示客户的数量密度(以下简称密度),这里t表示时间,而x表示客户对该社交软件的使用时长,那么在t时刻,对于0<x1<x2,使用时长介于x1和x2之间的客户数量为n(t,x)dx。我们假设,密度n(t,x)随着时间演化受以下几个因素的影响:假设1.当客户持续使用该社交软件时,他的使用时长随时间线性增长。假设2.客户在使用过程中,可能会停止使用,我们假设停止速率d(x)>0只跟使用时长x有关。假设3.新客户的来源有两个。①公司的宣传:单位时间内因此增加的人数是时间的函数,用c(t)表示。②老客户的宣传:老客户会主动向自己的同事、朋友等推荐使用该社交软件,推荐成功的速率跟客户的使用时长x有关,记作b(x)。假设如果在某一时刻,记为t=0时,密度函数是已知的,n(0,x)=n0 (x)。可以推导出,n(t,x)的时间演化满足如下的方程 (1)这里N(t)可解读为新客户的增加速率。我们假设b,d∈(0,∞),即b(x)和d(x)正且(本质)有界。以下,我们先做一个简化假设:c(t)≡0,即新客户的增加只跟老客户的宣传有关。(i)问答题(10分)根据假设1和假设2,形式地推导出(1)中n(t,x)所满足的偏微分方程,需要在推导过程中指出模型假设和数学表达式之间的对应关系。再根据假设3,解释(1)中N(t)的定义的含义。(ii)问答题(10分)我们想要研究新客户的增加速率N(t)和推荐成功速率b(x)之间的关系。为此,请推导出一个N(t)所满足的方程,且方程中只包含N(t),n0 (x),b(x),d(x),而不包含n(t,x)。并证明,N(t)满足如下估计|N(t)|≤‖b‖∞|n0 (x)|dx,这里‖∙‖∞表示L∞范数。(iii)证明题(10分)最后,我们想要研究,在充分长的时间之后,数量密度函数n(t,x)有什么渐近的趋势。由于客户总人数可能一直在增加,所以我们不方便直接研究数量密度函数n(t,x),而更应该去看一个重整化的密度函数。为此,我们首先假设如下的特征值问题有唯一解(λ0,φ(x)):并且它的对偶问题也有唯一的解ψ(x):然后,我们定义重整化密度n ̃(t,x)≔n(t,x)e-λ0 t。证明,对于任意凸函数H:R+→R+满足H(0)=0,我们有d/dt ψ(x)φ(x)H()dx≤0,∀t≥0,并证明ψ(x)n(t,x))dx=eλ0t ψ(x) n0 (x)dx.

数值求积f(x)dx时(1)试写出直接用梯形公式的计算式T1;(2)将[a,b]n等分,用Tn表示用复化梯形公式求得的积分值,试写出Tn的计算式;(3)若将步长分半(即步长二分),试给出T2n与Tn的递推关系;(4)若用精度控制|T2n - Tn |<ε,试写出“变步长梯形法”的算法框图.

用Romberge方法求dx的近似值。(给定n=4)

设f(x)在[0,1]上连续,f(x)dx=0,xf(x)dx=1,则存在x0∈[0,1]使|f(x0 )|>4.

设f(x)连续,且f(t)dt=x,则f(7)=______.

设f(x)是连续函数,且f(x)=x+2f(t)dt=________.