单项选择(1987年理工数学Ⅰ1987年理工数学Ⅱ

若f(x)为已知连续函数,I=tf(tx)dx,其中t>0,s>0,则I的值【 】

A、依赖于s,t

B、依赖于s,t,x

C、依赖于t,x,不依赖于s

D、依赖于s,不依赖于t

答案解析

D

讨论

= ______.

|x|dx = ______.

设f(x)在[0,1]上连续,f(x)dx=0,xf(x)dx=1,则存在x0∈[0,1]使|f(x0 )|>4.

设函数f(x)在[0,+∞)连续、非负,且广义积分f(x)dx收敛,证明:xf(x)dx=0.

证明含参广义积分F(a)=e-axsinxdx在(0,+∞)连续,但非一致收敛.

(2x+3)/(x2-x+1)dx=__________.

设f(x),g(x)在区间[a,b]上连续,且g(x)取正值,由积分中值定理有f(t)g(t)dt=f(ξ)g(t) dt(a≤ξ≤x≤b)若f+' (a)存在且f+' (a)≠0,求(ξ-a)/(x-a).

证明:xasinxdx∙a-cosx dx≥π³/4其中,a>0为常数.

设f(a)=0,f(x)在[a,b]上的导数连续,求证:1/(b-a)²·|f(x)|dx≤1/2 maxx∈[a,b] ⁡|f'(x)|,x∈[a,b]

当某公司推出一个新的社交软件时,公司的市场部门除了会关心该软件的活跃客的总人数随时间的变化,也会对客户群体的一些特征做具体的调研和分析。我们用n(t,x)表示客户的数量密度(以下简称密度),这里t表示时间,而x表示客户对该社交软件的使用时长,那么在t时刻,对于0<x1<x2,使用时长介于x1和x2之间的客户数量为n(t,x)dx。我们假设,密度n(t,x)随着时间演化受以下几个因素的影响:假设1.当客户持续使用该社交软件时,他的使用时长随时间线性增长。假设2.客户在使用过程中,可能会停止使用,我们假设停止速率d(x)>0只跟使用时长x有关。假设3.新客户的来源有两个。①公司的宣传:单位时间内因此增加的人数是时间的函数,用c(t)表示。②老客户的宣传:老客户会主动向自己的同事、朋友等推荐使用该社交软件,推荐成功的速率跟客户的使用时长x有关,记作b(x)。假设如果在某一时刻,记为t=0时,密度函数是已知的,n(0,x)=n0 (x)。可以推导出,n(t,x)的时间演化满足如下的方程 (1)这里N(t)可解读为新客户的增加速率。我们假设b,d∈(0,∞),即b(x)和d(x)正且(本质)有界。以下,我们先做一个简化假设:c(t)≡0,即新客户的增加只跟老客户的宣传有关。(i)问答题(10分)根据假设1和假设2,形式地推导出(1)中n(t,x)所满足的偏微分方程,需要在推导过程中指出模型假设和数学表达式之间的对应关系。再根据假设3,解释(1)中N(t)的定义的含义。(ii)问答题(10分)我们想要研究新客户的增加速率N(t)和推荐成功速率b(x)之间的关系。为此,请推导出一个N(t)所满足的方程,且方程中只包含N(t),n0 (x),b(x),d(x),而不包含n(t,x)。并证明,N(t)满足如下估计|N(t)|≤‖b‖∞|n0 (x)|dx,这里‖∙‖∞表示L∞范数。(iii)证明题(10分)最后,我们想要研究,在充分长的时间之后,数量密度函数n(t,x)有什么渐近的趋势。由于客户总人数可能一直在增加,所以我们不方便直接研究数量密度函数n(t,x),而更应该去看一个重整化的密度函数。为此,我们首先假设如下的特征值问题有唯一解(λ0,φ(x)):并且它的对偶问题也有唯一的解ψ(x):然后,我们定义重整化密度n ̃(t,x)≔n(t,x)e-λ0 t。证明,对于任意凸函数H:R+→R+满足H(0)=0,我们有d/dt ψ(x)φ(x)H()dx≤0,∀t≥0,并证明ψ(x)n(t,x))dx=eλ0t ψ(x) n0 (x)dx.