大学数学-考研试题(理工数学Ⅰ 2021年微积分基本公式)

填空题（2021年理工数学Ⅰ）

= ______.

答案解析

π/4

讨论

大学数学

设X1,X2,…,X16为来自总体N(μ,4)的简单随机样本.考虑假设检验问题：H0:μ≤10,H1:μ>10.Φ(x)表示标准正态分布函数，若该检验问题的拒绝域为W={X ̅≥11}，其中X ̅=1/16·Xi ，则μ=11.5时，该检验犯第二类错误的概率为【】

设(X1,Y1 ),(X2,Y2 ),…,(Xn,Yn )为来自总体N(μ1,μ2;σ12,σ22;ρ)的简单随机样本. 令θ=μ1 - μ2, X ̅=1/n·Xi ,Y ̅=1/n·Yi ,θ ̂=X ̅ - Y ̅，则【】

设A,B为随机事件，且0<P(B)<1，下列命题中为假命题的是【】

设A,B为n阶实矩阵，下列结论不成立的是【】

已知α1=,α2=,α3=，记β1=α1,β2=α2 - kβ1,β3=α3 - l1 β1 - l2 β2，若β1,β2,β3 两两正交，则l1,l2依次为【】

二次型f(x1,x2,x3 ) = (x1 + x2)2 + (x2 + x3)2 - (x3 - x1)2的正惯性指数依次为【】

设函数f(x)在区间[0,1]上连续，则f(x)dx=【】

设函数f(x)=sinx/(1+x2)在x=0处的3次泰勒多项式为ax+bx2+cx3，则【】

设函数f(x,y)可微，且f(x+1,ex)=x(x+1)2 , f(x,x2)=2x2lnx，则df(1,1)=【】

函数，在 x=0处【】

定积分

南京大学定积分的概念与性质

讨论sinbx/xλ dx(b≠0)的绝对收敛性和条件收敛性.

设f∈[0,2π]，证明：f(x)|sinnx|dx=2/πf(x)dx.

证明：广义积分lnx/√x dx收敛.

设f(x)在(0,1)可微，且有x2 f(x) dx=0，证明：存在θ∈(0,1)，使得f' (θ)=-f(θ)/θ.

先说明广义积分dx/(a4+x4 )收敛（a>0是常数），再计算其积分值.

设f(x),g(x)在区间[a,b]上连续，且g(x)取正值，由积分中值定理有f(t)g(t)dt=f(ξ)g(t) dt(a≤ξ≤x≤b)若f+' (a)存在且f+' (a)≠0，求(ξ-a)/(x-a).

已知f(x)dx条件收敛，且f+(x)=(|f(x)|+f(x))/2,f-(x)=(|f(x)|-f(x))/2证明：(1) f+(x)dx,f-(x)dx均发散到+∞;(2)当A→+∞时，f+(x) dx与f-(x)dx等价.

求积分I(a)=arctan⁡(ax)/(x(1+x2)) dx,a>0.

证明：xasinxdx∙a-cosx dx≥π³/4其中，a>0为常数.

微积分基本公式

计算(e-ax - e-bx)/x sinxdx，其中a,b>0.

计算积分ln⁡(1-2acosx+a2)dx.

设f(x)连续，且f(t)dt=x，则f(7)=__________.

理工数学Ⅱ微积分基本公式

(2x+3)/(x2-x+1)dx=__________.

设f(x)在(-∞,+∞)内连续可导，且m≤f(x)≤M,a>0.(1)求1/(4a2)[f(t+a)-f(t-a)]dt;(2)求证：|1/2af(t)dt-f(x)|≤M-m.

积分2/(x2+2x+4) dx=__________.

f(x)在[0,1]上有连续导数，f(x)无零点，且f(0)=1,f(1)=2，则dx= __________。

|x|dx = ______.

设X1,X2,⋯,Xn为来自总体N(μ1,σ2)的简单随机样本，Y1,Y2,⋯,Ym为来自总体N(μ2,2σ2)的简单随机样本，且两样本相互独立，记X ̅=1/n Xi ,Y ̅=1/m Yi ,S12=1/(n-1) (Xi-X ̅ )2 ,S22=1/(m-1) (Yi-Y ̅ )2 ，则【】