大学数学-竞赛试题(南京大学 1995年定积分的概念与性质)

计算题（1995年南京大学）

求 lim x->+∞ √x dt/.

答案解析

应用定积分的保向性，有

φ(x)=dt/≤dt/=1/

φ(x)=dt/≥dt/=1/

因为

lim x->+∞ ⁡√x 1/=1/√2,√x 1/=1/√2

应用夹逼准则得

原式= lim x->+∞ ⁡√x φ(x)=1/√2.

讨论

大学数学

设函数f(x)=x-[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数，求极限1/xf(x)dx.

求∫(1+x)/(x(1+xex)) dx.

求证不等式：(eb - ea)/(b-a)<(eb + ea)/2 (a≠b).

已知命题：若函数f(x)在区间[a,b]上可导，f'(a)>0，则存在c∈(a,b)，使得f(x)在区间[a,c)上单调增加，判断该命题是否成立.若判断成立，给出证明；若判断不成立，举一反例，证明命题不成立.

设实线性空间R2×2上的双线性函数ρ(X,Y)=tr(XT SY)，其中S∈R2×2.(1)求所有S，使得ρ是R2×2上的内积;(2)求所有S，使得A(X)=XT是内积空间(R2×2,ρ)上的正交变换.

设α1,…,αn和β1,…,βn是线性空间V的两组基，V上的线性变换A把每个αi映成βi,i=1,…,n.证明：A在α1,…,αn下的矩阵和在β1,…,βn下的矩阵相等.

设复系数多项式f(x)在x=1处的导数f'(1)≠0.证明：存在n阶复方阵A使得f(A)=f(1)J，其中J=是n阶Jordan块.

设A,B都是n阶复方阵，C=A+B，则det(C-AB)=det(C-BA).

设A是n维线性空间V的线性变换，则V=ImA⊕KerA.

设A是n阶复方阵，V1是A的行向量生成的Cn的子空间，V2是A的列向量生成的Cn的子空间，则V1=V2.

定积分

d/dx sin⁡(x-t)2dt=________.

lnx/√x dx=__________.

计算积分xm-1/(1+xn) dx，其中0<m<n.

浙江省定积分的换元法

利用留数定理计算下列积分cos(bx)dx（a>0,b为实数）

利用δ函数计算下列积分(x2+1)δ(x2-2x-8)dx.

积分中值定理的条件是__________，结论是____________.

f'(2x)dx=__________.

设f(x)是连续函数，且F(x)=f(t)dt，则F'(x)等于【】

定积分的概念与性质

设函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且3f(x)dx=f(0)，证明：在(0,1)内存在一点c，使f'(c)=0.

设M=sinx/(1+x2)cos4⁡x dx,N=(sin3x+cos4⁡x )dx,P=(x2sin3⁡x-cos4⁡x)dx，则有【】

d/dx xcost2dt=______________.

下列两个积分的大小关系是：dx_______dx.

设F(x)=esintsintdt，则F(x)【】

设I1=x/2(1+cosx) dx,I2=ln⁡(1+x)/(1+cosx) dx,I3=2x/(1+sinx) dx，则【】

积分sinx/(ex+e-x) dx等于【】

设连续函数f(x)满足f(a+b-x)=f(x),∀x∈[a,b]，则积分xf(x)dx等于【】

证明：xasinxdx∙a-cosx dx≥π³/4其中，a>0为常数.

设f(a)=0,f(x)在[a,b]上的导数连续，求证：1/(b-a)²·|f(x)|dx≤1/2 maxx∈[a,b] ⁡|f'(x)|,x∈[a,b]