大学数学-竞赛试题(南京大学 1995年换元积分法)

计算题（1995年南京大学）

求∫(1+x)/(x(1+xe^x)) dx.

答案解析

因为(xex )'=ex (x+1)，令xex=t，则∫(1+x)/(x(1+xex)) dx=∫(ex (1+x))/(xex (1+xex)) dx=∫1/(t(1+t)) dt=∫(1/t-1/...

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讨论

大学数学

求证不等式：(eb - ea)/(b-a)<(eb + ea)/2 (a≠b).

已知命题：若函数f(x)在区间[a,b]上可导，f'(a)>0，则存在c∈(a,b)，使得f(x)在区间[a,c)上单调增加，判断该命题是否成立.若判断成立，给出证明；若判断不成立，举一反例，证明命题不成立.

设实线性空间R2×2上的双线性函数ρ(X,Y)=tr(XT SY)，其中S∈R2×2.(1)求所有S，使得ρ是R2×2上的内积;(2)求所有S，使得A(X)=XT是内积空间(R2×2,ρ)上的正交变换.

设α1,…,αn和β1,…,βn是线性空间V的两组基，V上的线性变换A把每个αi映成βi,i=1,…,n.证明：A在α1,…,αn下的矩阵和在β1,…,βn下的矩阵相等.

设复系数多项式f(x)在x=1处的导数f'(1)≠0.证明：存在n阶复方阵A使得f(A)=f(1)J，其中J=是n阶Jordan块.

设A,B都是n阶复方阵，C=A+B，则det(C-AB)=det(C-BA).

设A是n维线性空间V的线性变换，则V=ImA⊕KerA.

设A是n阶复方阵，V1是A的行向量生成的Cn的子空间，V2是A的列向量生成的Cn的子空间，则V1=V2.

任意置换方阵可复相似于对角阵。

设A是2022阶可逆对称实方阵，则A必有2021阶非零主子式

不定积分

求不定积分∫dx/(x3+x2+x+1).

计算∫lnx/(1-x)2 dx.

求∫dx/(a2sin2⁡x+b2cos2⁡x ).( a,b是不全为零的非负常数)

求∫dx/(xln2x)

设函数f(x)在(-∞,+∞)上连续，则d∫f(x) dx等于【】

设f′(sin2x)=cos2x+tan2x，0<x<1，试求函数f(x).

已知定义于R的函数f(x)满足f′(lnx)=又f(0)=1，则f(x)=__________。

设f(x)在[0,+∞)上连续，在(0,+∞)内可导，g(x)在(-∞,+∞)内有定义且可导，f(0)=g(0)=1，又当x>0时f(x)+g(x)=3x+2，f’(x)-g’(x)=1f’(2x)-g’(-2x)=-12x2+1求f(x)与g(x)的表达式。

浙江省换元积分法

dx=__________。

换元积分法

理工数学Ⅰ换元积分法

证明：xasinxdx∙a-cosx dx≥π³/4其中，a>0为常数.

设f(a)=0,f(x)在[a,b]上的导数连续，求证：1/(b-a)²·|f(x)|dx≤1/2 maxx∈[a,b] ⁡|f'(x)|,x∈[a,b]

证明：两条心脏线ρ=α(1+cosθ)与ρ=α(1+cosθ)在交点处的切线相互垂直.

设函数f(x)在x=a可导，且f(a)≠0，则=__________。

当x→0时，1-cosxcos2xcos3x对于无穷小x的阶数等于 __________.

南京大学函数极限的性质

南京大学定积分的概念与性质

求∫(1+x)/(x(1+xex)) dx.