大学数学-考研试题(理工数学Ⅰ 1993年换元积分法)

计算题（1993年理工数学Ⅰ）

求∫xe^x/dx.

答案解析

令u=，则x=ln⁡(1+u2 ),dx=2u/(1+u2 ) du，于是有∫xe^x/dx=∫((1+u2)ln⁡(1+u2))/u∙2u/(1+u2 )du =2∫ln⁡(1+u2) du=2ul...

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讨论

大学数学

求(sin⁡(2/x)+cos(1/x))x

已知Q=，P为3阶非零矩阵，且满足PQ=0，则【】

设曲线积分∫L[f(x)-ex]sinydx-f(x)cosydy与路径无关，共中f(x)具有一阶连续导数，且f(0)=0，则f(x)等于【】

设直线l1:(x-1)/1=(y-5)/(-2)=(z+8)/1与l2:则l1与l2的夹角为【】

双纽线(x2+y2)2=x2-y2所围成的区域面积可用定积分表示为【】

设f(x)=sint2dt,g(x)=x3+x4，则当x→0时，f(x)是g(x)的【】

设随机变量X服从(0,2)上的均匀分布，则随机变量Y=X2在(0,4)内的概率分布密度fY(y)=__________.

一批产品共有10个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽1个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为__________.

设n阶矩阵A的各行元素之和均为零，且A的秩为n-1，则线性方程组Ax=0的通解为____________.

设数量场u=ln，则div(gradu)=________________.

不定积分

浙江省换元积分法

dx=__________。

∫e(x)dx=F(x)+c，则∫e-xf(e-x)dx= 【】

求不定积分∫(ln⁡(1+x2))/x3 dx

定义函数f(x)在[a,b]可积时，必须选假定f(x)在[a,b]上有界.

设f(x)在[a,b]上可积，则f(x)在[a,b]上的连续点有无限多个.

连续函数的不定积分一定存在.

求不定积分∫dx/(x3+x2+x+1).

设f′(sin2x)=cos2x+tan2x，0<x<1，试求函数f(x).

已知定义于R的函数f(x)满足f′(lnx)=又f(0)=1，则f(x)=__________。

换元积分法

求∫(1+x)/(x(1+xex)) dx.

设(X1,Y1 ),(X2,Y2 ),…,(Xn,Yn )为来自总体N(μ1,μ2;σ12,σ22;ρ)的简单随机样本. 令θ=μ1 - μ2, X ̅=1/n·Xi ,Y ̅=1/n·Yi ,θ ̂=X ̅ - Y ̅，则【】

设X1,X2,…,X16为来自总体N(μ,4)的简单随机样本.考虑假设检验问题：H0:μ≤10,H1:μ>10.Φ(x)表示标准正态分布函数，若该检验问题的拒绝域为W={X ̅≥11}，其中X ̅=1/16·Xi ，则μ=11.5时，该检验犯第二类错误的概率为【】

设函数y=y(x)由参数方程确定，则=_______.

设A为n阶方阵，且A的行列式|A|=a≠0，而A*是A的伴随矩阵，则|A* |等于【】

设矩阵A和B满足关系式AB=A+2B，其中A=，求矩阵B.

求微分方程y'''+6y''+(9+a2) y'=1的通解，其中常数a>0.

计算曲面积分I=∬∑x(8y+1)dydz+2(1-y2 )dxdz-4yzdxdy,其中∑是由曲线(1≤y≤3)绕y轴旋转一周而成的曲面，其法向量与y轴正向的夹角恒大于π/2.

问a,b为何值时，线性方程组有唯一解？无解？有无穷解？并求出有无穷解时的通解.

设在一次试验中，事件A发生的概率为p，现进行n次独立试验，则A至少发生一次的概率为__________；而事件A至多发生一次的概率为__________.