计算题(1987年理工数学Ⅰ

求微分方程y'''+6y''+(9+a2) y'=1的通解,其中常数a>0.

答案解析

对应齐次方程的特征方程为λ3+6λ2+(9+a2 )λ=0,求解得特征根为λ1=0,λ2,3=-3±ai,故对应齐次方程的通解为:y ̅=C1+e-3x (C2 cosax+C3 sinax).由于a=0为单根,因此可设非...

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讨论

考虑线性方程组dx/dt=A(t)x+f(t) (1)其中A(t),f(t)以ω为周期,A(t)为n×n的矩阵函数,f(t)为n维向量函数。设x1 (t),x2 (t),…,xn (t)是对应齐次方程组dx/dt=A(t)x (2)的基本解组,满足初始条件:x1 (0)=,x2 (0)=,…,xn (0)= 证明:1.设x=φ(t)是(1)的解,则x=φ(t)是(1)的以ω为周期的周期解的充要条件是φ(0)=φ(ω)。2.对于任何连续的周期函数f(t),f(t)=f(t+ω),方程组(1)有惟一的周期解(周期为ω)的充要条件是矩阵X(ω)=[x1 (ω)…xn (ω)]没有等于1的特征根。

欧拉方程x2y″ + xy' - 4y = 0满足条件y(1) = 1,y'(1) = 2得解为y = ______.

二次型f(x1,x2,x3 ) = (x1 + x2)2 + (x2 + x3)2 - (x3 - x1)2的正惯性指数依次为【 】

已知α1=,α2=,α3=,记β1=α1,β2=α2 - kβ1,β3=α3 - l1 β1 - l2 β2,若β1,β2,β3 两两正交,则l1,l2依次为【 】

设A,B为n阶实矩阵,下列结论不成立的是【 】

设(X1,Y1 ),(X2,Y2 ),…,(Xn,Yn )为来自总体N(μ1,μ2;σ12,σ22;ρ)的简单随机样本. 令θ=μ1 - μ2, X ̅=1/n·Xi ,Y ̅=1/n·Yi ,θ ̂=X ̅ - Y ̅,则【 】

设X1,X2,…,X16为来自总体N(μ,4)的简单随机样本.考虑假设检验问题:H0:μ≤10,H1:μ>10.Φ(x)表示标准正态分布函数,若该检验问题的拒绝域为W={X ̅≥11},其中X ̅=1/16·Xi ,则μ=11.5时,该检验犯第二类错误的概率为【 】

设函数y=y(x)由参数方程确定,则=_______.

设Σ为空间区域{(x,y,z)|x2 + 4y2≤4,0≤z≤2}表面的外侧,则曲面积分∬Σx2dydz + y2dzdx + z2dxdy=______.

设A = aij为3阶矩阵,Aij为代数余子式,若A的每行元素之和均为2,且|A| = 3,A11 + A21 + A31 = ______.