大学数学-考研试题(理工数学Ⅱ 1990年定积分的换元法)

填空题（1990年理工数学Ⅱ）

xdx=__________.

答案解析

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讨论

大学数学

设y=etan⁡(1/x) ∙sin(1/x)，则y'=________________.

曲线对应于t=π/6点处的法线方程是____________.

设抛物线y=ax2+bx+c过原点，当0≤x≤1时，y≥0.又已知抛物线与x轴及直线x=1所围成图形的面积为1/3，试确定a,b,c，使此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积V最小.

确定函数y=(x+1)/x2 的单调区间、极值、凸凹区间、拐点以及渐近线.

设ξ,η是相互独立且服从同一分布的两个随机变量，已知ξ的分布律为P{ξ=i}=1/3,i=1,2,3，又设X=max⁡(ξ,η),Y=min⁡(ξ,η).(1)写出二维随机变量(X,Y)的分布律；(2)求随机变量X的数学期望E(X).

已知二次型f(x1,x2,x3 )=5x12+5x22+cx32-2x1 x2+6x1 x3-6x2 x3的秩为2.(1)求参数c及此二次型对应矩阵的特征值；(2)指出方程f(x1,x2,x3 )=1表示何种二次曲面.

设A=E-ξξT，其中E是n阶单位矩阵，ξ是n维非零列向量，ξT是ξ的转置，证明：(1)A2=A的充要条件是ξTξ=1;(2)当ξTξ=1时，A是不可逆矩阵.

设f(x)在[0,1]上具有二阶导数，且满足条件|f(x)|≤a,|f''(x)|≤b，其中a,b都是非负常数，c是(0,1)内任意一点，证明：|f'(c)|≤2a+b/2.

设对任意x>0，曲线y=f(x)在点(x,f(x))处的切线在y轴上的截距等于1/x f(t)dt，求f(x)的一般表达式.

求级数1/((n2-1)2n)的和.

定积分的换元法

e√x =__________.

设f(x)=，求f(x-2)dx.

已知f(2)=1/2,f'(2)=0及f(x)dx=1，求x2f''(2x)dx.

证明：sin⁡(x²)dx>0.

浙江省定积分的换元法

利用δ函数计算下列积分(x2+1)δ(x2-2x-8)dx.

若f(x)为已知连续函数，I=tf(tx)dx，其中t>0,s>0，则I的值【】

求定积分x(sinx)arctan⁡(e-x)/(1+cos2⁡x )dx

设x,t>0，则含参变量积分I(t)=(e-x -e-xt)/x dx=________.

定积分

设函数f(x)在开区间[0,1]上可微，f(0)=0，且在[0,1]内0<f'(x)<1，证明：(1)对于任意x∈(0,1),f(t)dt>1/2 f2 (x);(2) (f(x)dx)2>f3(x)dx.

求ln⁡(1+x)/(2-x)2 dx.

设f(x)连续，且f(t)dt=x，则f(7)=__________.

设f(x)在(-∞,+∞)内连续可导，且m≤f(x)≤M,a>0.(1)求1/(4a2)[f(t+a)-f(t-a)]dt;(2)求证：|1/2af(t)dt-f(x)|≤M-m.

求ln⁡(1+x)/(2-x)2 dx.

tsint dt=__________.

设f(x)连续，且f(t)dt=x，则f(7)=______.

设f(x)是连续函数，且f(x)=x+2f(t)dt=________.

积分中值定理的条件是__________，结论是____________.