设f(x)在[0,1]上具有二阶导数，且满足条件|f(x)|≤a,|f''(x)|≤b，其中a,b都是非负常数，c是(0,1)内任意一点，证明：|f'(c)|≤2a+b/2.
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证明题（1996年理工数学Ⅰ）
答案解析
对f(x)在点x=c处用泰勒公式展开，得f(x)=f(c)+f' (c)(x-c)+(f'' (ξ))/2! (x-c)2 ①其中ξ=c+θ(x-c),0<θ<1.在①中令x=0，则有f(0)=f(c)+f' (c)(0-c)+(f'' (ξ1 ))/2! (0-c)2,0<ξ1<c<1.在①中令x=1，则有f(1)=f(c)+f' (c)(1-c)+(f'' (ξ2 ))/2! (1-c)2,0<c<ξ2<1.上述两...
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设对任意x>0，曲线y=f(x)在点(x,f(x))处的切线在y轴上的截距等于1/x f(t)dt，求f(x)的一般表达式.
设变换可把方程6 ∂2z/∂x2 +∂2z/∂x∂y-∂2z/∂x∂y=0化简为∂2z/∂u∂v=0，求常数a，其中z=z(x,y)有二阶连续的偏导数.
计算曲面积分∬S(2x+z)dydz+zdxdy，其中S为有向曲面z=x2+y2 (0≤z≤1)，其法向量与z轴正向的夹角为锐角.
设x1=10,xn+1=(n=1,2,⋯)，试证数列{xn}的极限存在，并求此极限.
设f(x)有连续的导数，f(0)=0,f'(0)≠0,F(x)=(x2-t2) f(t)dt，且当x→0时，F'(x)与xk是同阶无穷小，则k等于【 】
设an>0(n=1,2,⋯)，且an 收敛，常数λ∈(0,π/2)，则级数(-1)n (ntan λ/n) a2n【 】
当x→0时，x-sinxcosxcos2x与cx4为等价无穷小，则c=__________，k=__________.
当x→0时，1-cosxcos2xcos3x对于无穷小x的阶数等于 __________.
设x>0时，f(x)=，求证：x→0+时，f(x)=e+Ax+Bx2+o(x2)，并求A,B之值.
设函数f(x)=sinx/(1+x2)在x=0处的3次泰勒多项式为ax+bx2+cx3，则【 】
设函数f(x)在区间[0,1]上连续，则f(x)dx=【 】
设函数f(x)=secx在x=0处的2次泰勒多项式为1+ax+bx2，则【 】
已知f(x)在[a,b]上二阶可导，且f''(x)≤0，证明：f(x)dx≤(b-a)f((a+b)/2).