大学数学-考研试题(理工数学Ⅱ 1987年定积分的分部积分法)

计算题（1987年理工数学Ⅱ）

求xarcsinxdx.

答案解析

原式=1/2 arcsinxd(x²)=1/2 x² arcsinx-1/2 1/∙x² dx

=π/4+1/2 (-1/) dx

=π/4+1/2×π/4-1/2 arcsinx=π/8.

讨论

大学数学

设，求dy/dx,(d2 y)/(dx2 ).

求(1/x-1/(ex-1)).

设f(x)在x=a处可导，则(f(a+x)-f(a-x))/x等于【】

函数f(x)=xsinx

f(x)=|xsinx| ecosx,-∞<x<+∞是【】

f'(2x)dx=__________.

∫f'(x)dx=__________.

((n-2)/(n+1))n=________.

积分中值定理的条件是__________，结论是____________.

曲线y=arctanx在横坐标为1的点处的切线方程是__________；法线方程是____________.

定积分的分部积分法

求定积分sinθ/(sinθ+cosθ) dθ.

设函数f(x)在开区间[0,1]上可微，f(0)=0，且在[0,1]内0<f'(x)<1，证明：(1)对于任意x∈(0,1),f(t)dt>1/2 f2 (x);(2) (f(x)dx)2>f3(x)dx.

利用留数定理计算下列积分cos(bx)dx（a>0,b为实数）

利用δ函数的性质，计算积分δ(x2+1)sinxdx.

计算积分xm-1/(1+xn) dx，其中0<m<n.

求ln⁡(1+x)/(2-x)2 dx.

tsint dt=__________.

求ln⁡(1+x)/(2-x)2 dx.

设A为3阶矩阵，交换A的第2行和第3行，再将第2列的-1倍加第1列，得到矩阵，则A-1的迹tr(A-1)=__________.

已知函数f(x)在x=1处可导且(f()-3f(1+sin2⁡x))/x2 =2，求f'(1).

定积分

f(x)在[0,1]上有连续导数，f(x)无零点，且f(0)=1,f(1)=2，则dx= __________。

利用δ函数计算下列积分(x2+1)δ(x2-2x-8)dx.

若f(x)为已知连续函数，I=tf(tx)dx，其中t>0,s>0，则I的值【】

求定积分x(sinx)arctan⁡(e-x)/(1+cos2⁡x )dx

数值求积f(x)dx时(1)试写出直接用梯形公式的计算式T1；(2)将[a,b]n等分，用Tn表示用复化梯形公式求得的积分值，试写出Tn的计算式；(3)若将步长分半（即步长二分），试给出T2n与Tn的递推关系；(4)若用精度控制|T2n - Tn |<ε，试写出“变步长梯形法”的算法框图.

用Romberge方法求dx的近似值。（给定n=4）

设f(x)在[0,1]上连续，f(x)dx=0,xf(x)dx=1，则存在x0∈[0,1]使|f(x0 )|>4.

设函数f(x)在[0,+∞)连续、非负，且广义积分f(x)dx收敛，证明：xf(x)dx=0.

证明含参广义积分F(a)=e-axsinxdx在(0,+∞)连续，但非一致收敛.

设f(x)连续，且f(t)dt=x，则f(7)=______.