问答题(2022年中国科学院

试求椭圆x2/4+y2=1上一点,使其到直线3x+4y-12=0,3x-4y+12=0和y+3=0的距离平方和最小.

答案解析

利用点到直线的距离公式,设距离平方和为f=(3x+4y-12)2/25+(3x-4y+12)2/25+(y+3)2,构造拉格朗日函数L(x,y,λ)=(3x+4y-12)2/25+(3x-4y+12)...

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讨论

将长为a的铁丝切成两段,一段围成正方形,另一段围成圆,问这两段铁丝长各为多少时,正方形与圆的面积之和为最小?

设两函数f(x)及g(x)都在x=a处取得极大值,则函数F(x)=f(x)g(x)在x=a处【 】

在椭圆x2/a2 +y2/b2 =1的第一象限上求一点P,使该点处的切线、椭圆及两坐标轴所围成图形面积为最小(其中a>0,b>0).

去年,张师傅因为多旋圈面爆红,今年他来到了达摩院给扫地僧做面。某天,软件工程师小李跟张师傅吐槽工作。小李主要硏究和设计算法用于调节各种产品的参数。这样的参数一般可以通过极小化Rn上的某个损失函数f求得。在小李最近的一个项目中,这个损失函数是另外一个课题组提供的;出于安全考虑和技术原因,该课题组难以向小李给出此函数的内部细节,而只能提供一个接口用于计算任意x∈Rn处的函数值f(x)。所以,小李必须仅基于函数值来极小化f。而且,每次计算f的值都消耗不小的计算资源。好在该问题的维度n不是很高(10左右)。另外,提供函数的同事还告知小李不妨先假设f是光滑的。这个问题让张师傅想起了自己收藏的一台古董收音机。要在这台收音机上收听一个节目,你需要小心地来回拧一个调频旋钮,同时注意收音效果,直到达到最佳。在这过程中,没有人确切地知道旋钮的角度和收音效果之间的定量关系是什么。张师傅和小李意识到,极小化f不过就是调节一台有多个旋钮的机器:想象x的每一个分量由一个旋钮控制,而f(x)表示这台机器的某种性能,只要我们来回调整每个旋钮,同时监视f的值,应该就有希望找到最佳的x。受此启发,两人一起提出了极小化f的一个迭代算法,并命名为“自动前后调整算法”( Automated Forward/Backward Tuning,AFBT,算法1)。在第k次迭代中,AFBT通过前后调整xk的单个分量得2n个点{xk±tk ei:i=1,…,n},其中tk为步长;然后,令yk为这些点中函数值最小的一个,并检査yk是否使f充分减小;若是,取xk+1=yk,并将步长增倍;否则,令xk+1=xk并将步长减半。在算法1中,ei表示Rn中的第i个坐标向量,它的第i个分量为1,其余皆为0; I(∙) 为指示函数——若f(xk )-f(yk)至少为tk之平方,则I[f(xk )-f(yk )≥tk2]取值为1,否则为0。1自动前后调整算法(AFBT)输入x0∈Rn,t0>0。对k=0,1,2,…,执行以下循环。1:yk≔argmin{f(y):y=xk±tk ei,i=1,…,n} #计算损失函数。2:sk≔I[f(xk )-f(yk )≥tk2] #是否充分下降?是:sk=1;否:sk=0。3:xk+1≔(1-sk ) xk+sk yk #更新迭代点。4:tk+1≔2(2sk-1 ) tk #更新步长。sk=1:步长增倍;sk=0:步长减半。现在,我们对损失函数f:Rn→R作出如下假设。假设1. f为凸函数,即对任何x,y∈Rn与α∈[0,1]都有f((1-α)x+αy)≤(1-α)f(x)+αf(y).假设2. f在Rn上可微且∇f在Rn上 L-Lipschitz连续。假设3. f的水平集有界,即对任意λ∈R,集合{x∈Rn:f(x)≤λ}皆有界。基于假设1与假设2,可以证明〈∇f(x),y-x〉≤f(y)-f(x)≤〈∇f(x),y-x〉+L/2 ‖x-y‖2对任何x,y∈Rn成立;假设1与假设3则保证f在Rn上取到有限的最小值f*。凸函数的更多性质可参考任何一本凸分析教科书。证明题(20分) 在假设1-3下,对于AFBT,证明f(xk)=f*.

某厂家生产一种产品同时在两个市场上销售,价格分别为P1和P2,销量分别为q1和q2,需求满足下列关系:q1=24-0.2P1;q2=10-0.05P2.成本函数为:C=35+40(q1+q2)试问厂家如何确定两个市场的价格才能使获利最大?最大为多少?

某企业生产某种商品,年产x件时总成本为c(x)=c+dx,年需求量是价格p的线性函数为a-bp(其中a,b,c,d均为常数),试求:(1)利润最大时的产量及最大利润;(2)需求对价格的弹性。

设f(x)=nx(1-x)n(n为自然数),求(1) f(x)在[0,1]上的最大值M(n)={f(x)}.(2)求M(n).

已知二元函数z=z(x,y):z(x,y)=1/4[4(tgx+tgy)2 - 12tgx∙tgy - 3],试求:二元函数z=z(x,y)在正方形区域:D ̅:-π/4≤x≤π/4,-π/4≤y≤π/4 里的最大值zmax=?和最小值zmin=?,并指出二元函数z=z(x,y)在闭区域D ̅里何点处取得最大值zmax和最小值zmin?

求∫C1/(xdx+ydy),其中C是从(1,0)到(0,2)的光滑曲线(不过原点).

求∫Cx2ds,其中C为x2+y2+z2=a2 (a>0)与z=的交线.